Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
$\int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}{4-y{2}} d x d z d y
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente “esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral iterada”
Matéria: Integrais triplas e interpretação geométrica de regiões em .
O que vamos precisar:
Entender o papel de cada limite na definição da região .
Saber projetar essa região no plano e depois “extrudir” em .
Passo 2
Vamos ler os limites na ordem dada (, depois , depois ):
.
.
.
Isso significa que o ponto satisfaz simultaneamente essas três condições.
Passo 3
Primeiro foco na projeção no plano . Lá temos:
.
Para cada , varia de até .
Ou seja, a fronteira curva é a parábola
e a outra é a reta . Então no plano a região é o “pedaço” entre e , sob essa parábola.
Passo 4
Agora, pra cada ponto dessa projeção no , varia de 0 a 2 (limite bem simples).
Isso significa que a região toda é a projeção do passo 3 “levantada” verticalmente até .
Geometricamente, é um cilindro parabólico (ou seja, uma parábola que se estende em ) com topo plano em e base em .
Passo 5
Como desenhar rapidinho:
No plano , faça a parábola para e trace a reta .
Pinte a região entre elas.
Imagine que essa região “vira” uma parede de 3D: puxa tudo pra cima até .
Colore também a base em e o teto em .
Resposta
O sólido é a região no espaço limitada por
ou seja, um cilindro parabólico gerado pela parábola (no plano ) extrudida verticalmente de até .