Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
$\int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}{4-y{2}} d x d z d y

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente “esboçar o sólido cujo volume é dado pela integral iterada”
integral0^2!integral0^2!integral0^4 - y^2 dx,dz,dy
Matéria: Integrais triplas e interpretação geométrica de regiões em .
O que vamos precisar:
  • Entender o papel de cada limite na definição da região .
  • Saber projetar essa região no plano e depois “extrudir” em .

Passo 2

Vamos ler os limites na ordem dada ( , depois , depois ):
  1. .
  2. .
  3. .
    Isso significa que o ponto satisfaz simultaneamente essas três condições.

Passo 3

Primeiro foco na projeção no plano x = 4 - y^2, . Lá temos:
  • .
  • Para cada , varia de até .
    Ou seja, a fronteira curva é a parábola
e a outra é a reta . Então no plano a região é o “pedaço” entre e , sob essa parábola.

Passo 4

Agora, pra cada ponto dessa projeção no , varia de 0 a 2 (limite bem simples).
Isso significa que a região toda é a projeção do passo 3 “levantada” verticalmente até .
Geometricamente, é um cilindro parabólico (ou seja, uma parábola que se estende em ) com topo plano em e base em .

Passo 5

Como desenhar rapidinho:
  1. No plano , faça a parábola para e trace a reta .
  2. Pinte a região entre elas.
  3. Imagine que essa região “vira” uma parede de 3D: puxa tudo pra cima até .
  4. Colore também a base em e o teto em .

Resposta

O sólido é a região no espaço limitada por
0 <= y <= 2, 0 <= x <= 4 - y^2, 0 <= z <= 2,
ou seja, um cilindro parabólico gerado pela parábola (no plano ) extrudida verticalmente de até .

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