Regra do Ponto Médio para Integrais Triplas Na Regra do Ponto Médio para integrais triplas, usamos uma soma de Riemann tripla para aproximar a integral tripla em uma caixa B, calculando f(x, y, z) em (barx, bary, barz), o centro da caixa Bi j k. Use a Regra do Ponto Médio para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de mesmo tamanho.
integral triplaB raizx e^yz d V, em que
B=(x, y, z) mid 0 <= x <= 4,0 <= y <= 1,0 <= z <= 2

Passo 1

Beleza, o enunciado quer usar a Regra do Ponto Médio para aproximar
integral triplaBraizx,e^yz,dV
num bloco
B=(x,y,z)mid 0<= x<=4,;0<= y<=1,;0<= z<=2
dividido em 8 subcaixas iguais.
Conteúdo: soma de Riemann tripla e Regra do Ponto Médio. Vamos precisar de Δx, Δy, Δz, achar os centros de cada subcaixa e somar f(bar x,bar y,bar z),De.

Passo 2

Primeiro, dividimos cada aresta em 2 partes iguais:
Δx = (4–0)/2 = 2, Δy = (1–0)/2 = 0.5, Δz = (2–0)/2 = 1.
Então cada subcaixa tem volume
De
Os valores centrais são:
para x: bar x1=1, bar x2=3;
para y: bar y1=0.25, bar y2=0.75;
para z: bar z1=0.5, bar z2=1.5.

Passo 3

A Regra do Ponto Médio diz
integral triplaB f(x,y,z),dV approx sumi=1^2sumj=1^2sumk=1^2 f(bar xi,bar yj,bar zk),De
Aqui f(x,y,z)=raizx,e^yz e De, então
Aproximação = sumi=1^2sumj=1^2sumk=1^2 raizbar xi,e^bar yj,bar zk çã

Passo 4

Vamos separar os dois valores de bar x:
  1. Para bar x1=1, raiz1=1, temos quatro termos
e^0.25cdot0.5+e^0.25cdot1.5+e^0.75cdot0.5+e^0.75cdot1.5 =e^0.125+e^0.375+e^0.375+e^1.125
  1. Para bar x2=3, raiz3approx1.732, é a mesma soma multiplicada por raiz3.
Calculando numericamente:
e^{0.125}≈1.1331, e^{0.375}≈1.4559, e^{1.125}≈3.0802.
Logo soma básica = 1.1331+1.4559+1.4559+3.0802 ≈7.1251.
Então o total é
1cdot7.1251 + 1.732cdot7.1251 approx 7.1251 + 12.3366 = 19.4617

Resposta

Aproximação pela Regra do Ponto Médio (8 subcaixas):
boxed19.46 (aprox)

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