Regra do Ponto Médio para Integrais Triplas Na Regra do Ponto Médio para integrais triplas, usamos uma soma de Riemann tripla para aproximar a integral tripla em uma caixa
, calculando
em
, o centro da caixa
. Use a Regra do Ponto Médio para estimar o valor da integral. Divida
em oito subcaixas de mesmo tamanho.
, em que
Passo 1
Beleza, o enunciado quer usar a Regra do Ponto Médio para aproximar
num bloco
dividido em 8 subcaixas iguais.
Conteúdo: soma de Riemann tripla e Regra do Ponto Médio. Vamos precisar de Δx, Δy, Δz, achar os centros de cada subcaixa e somar .
Conteúdo: soma de Riemann tripla e Regra do Ponto Médio. Vamos precisar de Δx, Δy, Δz, achar os centros de cada subcaixa e somar
Passo 2
Primeiro, dividimos cada aresta em 2 partes iguais:
Δx = (4–0)/2 = 2, Δy = (1–0)/2 = 0.5, Δz = (2–0)/2 = 1.
Então cada subcaixa tem volume
Δx = (4–0)/2 = 2, Δy = (1–0)/2 = 0.5, Δz = (2–0)/2 = 1.
Então cada subcaixa tem volume
Os valores centrais são:
para x: ,
;
para y: ,
;
para z: ,
.
para x:
para y:
para z:
Passo 3
A Regra do Ponto Médio diz
Aqui
e
, então
Passo 4
Vamos separar os dois valores de
:
- Para
, , temos quatro termos
- Para
, , é a mesma soma multiplicada por .
Calculando numericamente:
e^{0.125}≈1.1331, e^{0.375}≈1.4559, e^{1.125}≈3.0802.
Logo soma básica = 1.1331+1.4559+1.4559+3.0802 ≈7.1251.
Então o total é
e^{0.125}≈1.1331, e^{0.375}≈1.4559, e^{1.125}≈3.0802.
Logo soma básica = 1.1331+1.4559+1.4559+3.0802 ≈7.1251.
Então o total é
Resposta
Aproximação pela Regra do Ponto Médio (8 subcaixas):