Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
integral-1^1 integral0^1-x^2 integral0^2-z d y d z d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede que a gente esboce (desenhe mentalmente ou faça um rabisco) o sólido definido pela integral iterada
integralx=-1^1 integralz=0^,1 - x^2 integraly=0^,2 - z dy,dz,dx
Conteúdo: interpretação geométrica de integrais triplas em coordenadas cartesianas. O que precisamos: entender o que cada limite de integração representa (planos e superfícies) e como todas juntas formam o sólido.

Passo 2

Primeiro, olhe os limites de e :
  • vai de a . Isso significa que nosso sólido se estende no eixo entre as retas e .
  • Para cada , o varia de até . A superfície é um “chapéu de parabola” aberto pra baixo, tocando o plano nos pontos . Então, no plano , a projeção da base do sólido é a região sob a parábola e acima de , com .

Passo 3

Agora, olhando o limite de y = 2 - z :
  • Para cada ponto nessa base, vai de até .
    Isso significa que o sólido é “levantado” pra cima do plano até a superfície inclinada
Essa superfície é um plano que, se você fixar , dá um retângulo em . No conjunto, é como um telhado reto que desce conforme cresce.

Passo 4

Juntando tudo:
  1. Lado-lateral em : planos e .
  2. “Piso” embaixo: plano .
  3. Parede curva atrás e na frente: superfície de revolução em , mas sem variar , dada por .
  4. Base inferior em : plano .
  5. Teto inclinado: plano (ou ).
Pra esboçar:
a) Desenhe no papel os eixos , , .
b) No plano (ou seja, pensando ), faça a parábola de a . Marque o triângulo abaixo dela até .
c) Para cada ponto ali, suba até o plano . Assim você forma um “bloco” cujo teto cai conforme você avança em .

Resposta

O sólido é a região de pontos -1 <= x <= 1, 0 <= z <= 1 - x^2, 0 <= y <= 2 - z, em satisfazendo
ou seja, está limitado pelos planos , , , pela parábola no plano e pelo plano inclinado .

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