Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede que a gente esboce (desenhe mentalmente ou faça um rabisco) o sólido definido pela integral iterada
Conteúdo: interpretação geométrica de integrais triplas em coordenadas cartesianas. O que precisamos: entender o que cada limite de integração representa (planos e superfícies) e como todas juntas formam o sólido.
Passo 2
Primeiro, olhe os limites de
e
:
-
vai de a . Isso significa que nosso sólido se estende no eixo entre as retas e . - Para cada
, o varia de até . A superfície é um “chapéu de parabola” aberto pra baixo, tocando o plano nos pontos . Então, no plano , a projeção da base do sólido é a região sob a parábola e acima de , com .
Passo 3
Agora, olhando o limite de
:
- Para cada ponto
nessa base, vai de até .
Isso significa que o sólido é “levantado” pra cima do planoaté a superfície inclinada
Essa superfície é um plano que, se você fixar
, dá um retângulo em
. No conjunto, é como um telhado reto que desce conforme
cresce.
Passo 4
Juntando tudo:
- Lado-lateral em
: planos e . - “Piso” embaixo: plano
. - Parede curva atrás e na frente: superfície de revolução em
, mas sem variar , dada por . - Base inferior em
: plano . - Teto inclinado: plano
(ou ).
Pra esboçar:
a) Desenhe no papel os eixos ,
,
.
b) No plano (ou seja, pensando
), faça a parábola
de
a
. Marque o triângulo abaixo dela até
.
c) Para cada ponto ali, suba até o plano . Assim você forma um “bloco” cujo teto cai conforme você avança em
.
a) Desenhe no papel os eixos
b) No plano
c) Para cada ponto ali, suba até o plano
Resposta
O sólido é a região de pontos
em
satisfazendo
ou seja, está limitado pelos planos
,
,
, pela parábola
no plano
e pelo plano inclinado
.