ESCLARECER A ORIGEM DESTA FÓRMULA APROXIMADA:
A) (1+X)^1 / 2 approx 1+(1 / 2) X-(1 / 8) X^2, (X DEFINIDO NO CONJUNTO DOS REAIS )
-* LEMBRETE

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar de onde sai a aproximação
(1+X)^1/2approx 1 + tfrac12X - tfrac18X^2
Isso é conteúdo de série de Taylor ou, de forma equivalente, da expansão binomial para expoente fracionário. Vamos precisar da definição de coeficiente binomial generalizado
binom ak = a, (a-1)cdots (a-k+1)k!,

Passo 2

A teoria manda que, para qualquer (1+X)^a ;=; sumk=0^infty binom ak ,X^k, ,
que é exatamente a expansão de Taylor de em torno de .

Passo 3

Agora é só aplicar com binom1/20=1, binom1/21=tfrac12, binom1/22=(1/2)(-1/2)2!=-tfrac18 :
(1+X)^1/2 approx 1 + tfrac12X - tfrac18X^2
Pegando só até , a série vira

Resposta

(1+X)^1/2approx 1 + 12X - 18X^2

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