Seja
um inteiro. Lembre-se que
! é definido como o produto de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a
; isto é
Mostre que os números
são todos compostos.
Passo 1
Então, o exercício diz o seguinte: seja um inteiro
. A gente lembra que
e precisa mostrar que, para todo
entre 2 e
, o número
é composto.
Conteúdo: fatoriais, divisibilidade e definição de número composto.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Que
contém todos os inteiros de 1 até como fatores. - Definição de “
divide ” e de número composto (tem divisor próprio entre 1 e ele mesmo).
Passo 2
Primeiro, entenda essa ideia de divisibilidade: dizemos que um inteiro
divide outro inteiro
(escrevemos
) se existe um inteiro
tal que
Um número é composto se tem um divisor
com
.
Agora, para cada
:
- Como
, fica claro que é um dos fatores de . - Logo,
divide , ou seja, existem inteiros tais que - Soma aí
dos dois lados: - Observe que
e , e além disso . Então é um divisor próprio de .
Passo 3
Como acabamos de achar um divisor
de
tal que
, isso significa que
é composto. E isso vale para todo
.
Resposta
Para cada inteiro
com
, temos
com
, logo
é composto.