Seja n>1 um inteiro. Lembre-se que n ! é definido como o produto de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n; isto é
n!=1 cdot 2 cdots cdots(n-1) cdot n
Mostre que os números
n!+2, n!+3, cdots, n!+(n-1)
são todos compostos.

Passo 1

Então, o exercício diz o seguinte: seja um inteiro n! = 1 cdot 2 cdot 3 cdots (n-1)cdot n . A gente lembra que
n! + k
e precisa mostrar que, para todo entre 2 e , o número
é composto.
Conteúdo: fatoriais, divisibilidade e definição de número composto.
O que vamos usar:
  • Que contém todos os inteiros de 1 até como fatores.
  • Definição de “ divide ” e de número composto (tem divisor próprio entre 1 e ele mesmo).

Passo 2

Primeiro, entenda essa ideia de divisibilidade: dizemos que um inteiro m = d times q divide outro inteiro n! = k times q (escrevemos n! + k = k times q + k = k,(q+1) ) se existe um inteiro tal que
Um número é composto se tem um divisor com .
Agora, para cada :
  1. Como , fica claro que é um dos fatores de .
  2. Logo, divide , ou seja, existem inteiros tais que
  3. Soma aí dos dois lados:
  4. Observe que e , e além disso . Então é um divisor próprio de .

Passo 3

Como acabamos de achar um divisor de tal que , isso significa que é composto. E isso vale para todo .

Resposta

Para cada inteiro n!+k = k,(q+1) com , temos
com , logo é composto.

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