DESENVOLVER
EM SÉRIE DE MACLAURIN E A SEUIR FAZER:
A)
,
B)
. COMENTAR OS RESULTADOS FORNECIDOS PELA SÉRIE EM COMPARAÇÃO COM OS RESULTADOS FORNECIDOS DIRETAMENTE PELA FUNÇÃO.
A)
B)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente pegar a função
e desenvolver em série de Maclaurin (ou seja, em potência de
Conteúdo: séries de potências (série geométrica), raio de convergência, avaliação de séries. Vamos precisar saber que a soma da série geométrica
e entender limite de convergência.
Passo 2
Pra achar a série de Maclaurin de
, a gente usa a fórmula da série geométrica padrão, com
. Logo:
Isso já é a expansão em potências de
Passo 3
Agora vamos avaliar a série em
.
A série fica
A série fica
Como é geométrica de razão
Por outro lado, a função original dá
Então, pra
Passo 4
Agora
. Se a gente tentar usar a mesma série
ela NÃO converge, porque
Mas a função original dá um valor:
Então para
o desenvolvimento em série não serve (fora do raio de convergência), enquanto a função existe e vale
.
Resposta
Função expandida:
A) Para
B) Para