DESENVOLVER f(x)=1 /(1-X) EM SÉRIE DE MACLAURIN E A SEUIR FAZER:
A) X=1 / 2,
B) X=2. COMENTAR OS RESULTADOS FORNECIDOS PELA SÉRIE EM COMPARAÇÃO COM OS RESULTADOS FORNECIDOS DIRETAMENTE PELA FUNÇÃO.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente pegar a função
f(x)=11-x
e desenvolver em série de Maclaurin (ou seja, em potência de x a partir de x=0). Aí, depois, a gente substitui x=tfrac12 e x=2 nessa série e compara com o valor que a própria função dá pra esses mesmos x.
Conteúdo: séries de potências (série geométrica), raio de convergência, avaliação de séries. Vamos precisar saber que a soma da série geométrica
sumn=0^infty r^n = 11-rpara |r|<1
e entender limite de convergência.

Passo 2

Pra achar a série de Maclaurin de f(x)=tfrac11-x, a gente usa a fórmula da série geométrica padrão, com r=x. Logo:
11-x = sumn=0^infty x^n desde que |x|<1
Isso já é a expansão em potências de x que a gente queria. O “raio de convergência” é 1, ou seja, essa igualdade vale só para |x|<1.

Passo 3

Agora vamos avaliar a série em x=tfrac12.
A série fica
sumn=0^infty l(tfrac12r)^n = 1 + tfrac12 + tfrac14 + tfrac18 + cdots
Como é geométrica de razão r=tfrac12, a soma é
sumn=0^infty l(tfrac12r)^n = 11-tfrac12 = 2
Por outro lado, a função original dá
fl(tfrac12r)=11-tfrac12=2
Então, pra x=tfrac12, a série converge direitinho e coincide com o valor exato da função.

Passo 4

Agora x=2. Se a gente tentar usar a mesma série
sumn=0^infty 2^n = 1 + 2 + 4 + 8 + cdots
ela NÃO converge, porque |2|>=1. Ou seja, a série explode e não tem soma finita.
Mas a função original dá um valor:
f(2)=11-2=-1
Então para x=2 o desenvolvimento em série não serve (fora do raio de convergência), enquanto a função existe e vale -1.

Resposta

Função expandida:
11-x = sumn=0^infty x^n, |x|<1
A) Para x=tfrac12: a soma da série é 2, exatamente igual a f(tfrac12)=2.
B) Para x=2: a série diverge (não converge), mas f(2)=-1,, logo não dá pra usar a série fora de |x|<1,.

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