ESCREVA A SÉRIE DE MACÇAURIN DE f(X)=3 X^3-5 X^2+X-2.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a série de Maclaurin (ou seja, Taylor em torno de 0) de
f(X)=3X^3-5X^2+X-2,
Isso faz parte de Cálculo (séries de Taylor/Maclaurin). Para resolver, a gente vai:
1) usar a fórmula da série de Maclaurin,
2) calcular derivadas de até a ordem do polinômio,
3) avaliar cada derivada em e montar a série.

Passo 2

Relembrando a teoria: a série de Maclaurin de uma função f(X)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,X^n é
onde é a -ésima derivada de avaliada em . No nosso caso, é um polinômio de grau 3, então as derivadas de ordem ≥4 são zero e a série “termina” no .

Passo 3

Vamos achar as derivadas de :
  1. Para , .

Passo 4

Agora avaliamos cada derivada em :

Passo 5

Substituindo na fórmula
f(X)=sumn=0^3f^(n)(0)n!X^n = f(0)+f'(0)1!X+f''(0)2!X^2+f'''(0)3!X^3
ficamos com
f(X)=-2 + 11!X + -102!X^2 + 183!X^3 =-2 + X -5X^2 +3X^3

Resposta

A série de Maclaurin de boxed-2 + X - 5X^2 + 3X^3 é

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