Escolha n (número de subintervalos para dividir o intervalo de integração) o menor valor possível para aplicar a regra 1/3 de simpson repetida de modo a obter uma aproximação de I=\int_{-0,75}^{-0,75+1} e^{x^{2}} d x com \mu um erro inferior a 0,01

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
I = \int_{-0,75}^{-0,75+1} e^{x^2}\,dx = \int_{-0,75}^{0,25} e^{x^2}\,dx
pela regra de Simpson composta (1/3 repetida), escolhendo o menor n (par) tal que o erro seja inferior a 0,01. Vamos usar a cota de erro da regra de Simpson e a derivada de quarta ordem de f(x)=e^{x^2}.

Passo 2

Para a regra de Simpson composta em n subintervalos de largura h=(b-a)/n, a cota de erro é
\bigl|E_S\bigr|\le \frac{b-a}{180}\,h^4\,M_4,
onde
M_4 = \max_{x\in[a,b]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|.
Como a=-0,75, b=0,25 e b-a=1, temos h=1/n e
\bigl|E_S\bigr|\le \frac{1}{180}\,\frac{1}{n^4}\,M_4 = \frac{M_4}{180\,n^4}.

Passo 3

Calculemos f^{(4)}(x). Para f(x)=e^{x^2} obtém-se
f^{(4)}(x) = \bigl(12 + 48x^2 + 16x^4\bigr)\,e^{x^2}.
No intervalo [-0,75,0,25] o termo 12+48x^2+16x^4 e e^{x^2} são simétricos em torno de 0, e o valor máximo em módulo ocorre em |x|=0,75. Logo
M_4 = f^{(4)}(0,75) = \bigl(12 + 48\cdot(0,75)^2 + 16\cdot(0,75)^4\bigr)\,e^{(0,75)^2} \approx 77{,}41.

Passo 4

Queremos
\frac{M_4}{180\,n^4} \le 0,01.
Isto é equivalente a
n^4 \ge \frac{M_4}{180\cdot 0,01} = \frac{M_4}{1{,}8} \approx \frac{77{,}41}{1{,}8} \approx 43{,}0
\Rightarrow n \ge \sqrt[4]{43{,}0}\approx 2{,}56.
Como n deve ser par e inteiro, o menor valor que satisfaz é n=4.

Resposta

O menor número de subintervalos é n = 4.

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