Objetivo

Calcular a integral I=\int_{-1,48}^{-0,48} e^{x^{2}} d x (note que o limite superior é -1,48+1=-0,48 ) usando a Regra de Simpson Repetida, garantindo que o erro de aproximação seja inferior a 0,01. Para isso, devemos primeiro encontrar o menor número par de subintervalos ( n ) necessário e, em seguida, calcular o valor da integral aproximada ( \tilde{I} ).

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral
I=\int_{-1,48}^{-0,48}e^{x^2}\,dx
usando a Regra de Simpson composta, de modo que o erro seja inferior a 0,01. Vamos usar a fórmula de Simpson repetida e o limite de erro para determinar o menor n par e em seguida calcular a aproximação \tilde I.

Passo 2

Para a Regra de Simpson composta com n subintervalos de largura h=(b-a)/n, o erro satisfa z
\bigl|E_S\bigr|\le \frac{b-a}{180}\,h^4\;\max_{x\in[a,b]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|.
Aqui a=-1,48, b=-0,48 e f(x)=e^{x^2}.

Passo 3

Calculamos a quarta derivada de f:
f'(x)=2x\,e^{x^2},\quad f''(x)=(2+4x^2)e^{x^2},\quad f^{(3)}(x)=(12x+8x^3)e^{x^2},
f^{(4)}(x)=(12+48x^2+16x^4)\,e^{x^2}.
No intervalo [-1,48,-0,48] o valor \lvert f^{(4)}(x)\rvert é máximo em \lvert x\rvert=1,48. Logo
M=\max_{x\in[a,b]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr| \approx\bigl(12+48\cdot1,48^2+16\cdot1,48^4\bigr)e^{1,48^2} \approx1{,}734\times10^3.

Passo 4

Queremos
\frac{b-a}{180}\,h^4\,M \le 0,01 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{180}\,h^4\,(1{,}734\times10^3)\le0,01
h^4\le\frac{0,01\cdot180}{1{,}734\times10^3}\approx1{,}038\times10^{-3} \quad\Longrightarrow\quad h\le0,179.
Como h=(b-a)/n=1/n, temos 1/n\le0,179 n\ge5{,}59. Tomando n par mínimo, concluímos n=6.

Passo 5

Com n=6, h=(b-a)/6=1/6\approx0,166667. Os nós são
x_i=-1,48+i\,h,\quad i=0,1,\dots,6,
ou seja -1,48, -1,3133, -1,1467, -0,98, -0,8133, -0,6467, -0,48.
Calculamos f(x_i)=e^{x_i^2}:
\begin{aligned} f_0&\approx8,9369,& f_1&\approx5,6132,& f_2&\approx3,7286,\\\ f_3&\approx2,6134,& f_4&\approx1,9371,& f_5&\approx1,5191,& f_6&\approx1,2592. \end{aligned}

Passo 6

A Regra de Simpson composta dá
\tilde I=\frac{h}{3}\Bigl[f_0+4(f_1+f_3+f_5)+2(f_2+f_4)+f_6\Bigr].
Substituindo os valores:
\tilde I =\frac{1/6}{3}\Bigl[8,9369+4(5,6132+2,6134+1,5191)+2(3,7286+1,9371)+1,2592\Bigr] \approx3,3617.

Resposta

O número mínimo de subintervalos pares é n=6 e a integral aproximada é
\tilde I\approx3,3617.

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