Seja I_{T} a aproximação de \int_{\alpha}^{b} f(x) d x dada pela regra dos trapézios. Assinale a única alternativa falsa dentre as opções abaixo.
Escolha uma opção:
a. \quad I_{T}=\frac{h}{2}[f(a)+f(b)]
b. IT é a integral do polinômio interpolador da f em x_{0} e x_{1}.
c. O erro cometido nesta aproximação será positivo se a derivada de f(x) for positiva para todo x em [a, b].
d. Se f(x)>0 em [a, b], então I_{T} representa a área de um trapézio.
e. Se o gráfico de f(x) é uma reta então o erro cometido nesta aproximação é zero.

Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado pede para identificar a única afirmação falsa sobre a regra do trapézio, que aproxima
\int_{a}^{b}f(x)\,dx
por I_{T}. O que vamos usar: a fórmula da regra do trapézio, seu caráter como integração do polinômio interpolador e o sinal do erro.

Passo 2

Verificando a alternativa (a):
Ela diz
I_{T} = \frac{h}{2}\bigl[f(a)+f(b)\bigr],
onde h = b-a.
De fato, essa é a fórmula padrão da regra do trapézio para um subintervalo.
Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Verificando a alternativa (b):
A regra do trapézio equivale a integrar o polinômio de grau 1 que interpola f nos pontos x_0=a e x_1=b.
Portanto, (b) também é verdadeira.

Passo 4

Verificando a alternativa (d):
Se f(x)>0 em [a,b], então I_{T}=\tfrac{b-a}{2}[f(a)+f(b)] é exatamente a área do trapézio de bases f(a) e f(b).
Logo, (d) é verdadeira.

Passo 5

Verificando a alternativa (e):
Se f é uma reta, então o polinômio interpolador de grau 1 coincide com f, logo a aproximação é exata e o erro é zero.
Portanto, (e) é verdadeira.

Passo 6

Verificando a alternativa (c):
O erro da regra do trapézio em um intervalo [a,b] tem expressão
E_T = -\frac{(b-a)^3}{12}\,f''(\xi)
para algum \xi\in(a,b).
Note que o sinal do erro depende de f'', não de f'.
A afirmação “o erro será positivo se f'(x)>0 em [a,b]” não faz sentido: mesmo que f' seja positiva, o erro só se relaciona com a concavidade f''.
Logo, (c) é a alternativa falsa.

Resposta

c

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