Seja
a aproximação de
dada pela regra dos trapézios. Assinale a única alternativa falsa dentre as opções abaixo.
Escolha uma opção:
a.
b. IT é a integral do polinômio interpolador da
em
e
.
c. O erro cometido nesta aproximação será positivo se a derivada de
for positiva para todo
em
.
d. Se
em
, então
representa a área de um trapézio.
e. Se o gráfico de
é uma reta então o erro cometido nesta aproximação é zero.
Limpar minha escolha
a.
b. IT é a integral do polinômio interpolador da
c. O erro cometido nesta aproximação será positivo se a derivada de
d. Se
e. Se o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para identificar a única afirmação falsa sobre a regra do trapézio, que aproxima
por
O que vamos usar: a fórmula da regra do trapézio, seu caráter como integração do polinômio interpolador e o sinal do erro.
Passo 2
Verificando a alternativa (a):
Ela diz
Ela diz
onde
.
De fato, essa é a fórmula padrão da regra do trapézio para um subintervalo.
Logo, (a) é verdadeira.
De fato, essa é a fórmula padrão da regra do trapézio para um subintervalo.
Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
Verificando a alternativa (b):
A regra do trapézio equivale a integrar o polinômio de grau 1 que interpola nos pontos
e
.
Portanto, (b) também é verdadeira.
A regra do trapézio equivale a integrar o polinômio de grau 1 que interpola
Portanto, (b) também é verdadeira.
Passo 4
Verificando a alternativa (d):
Se em
, então
é exatamente a área do trapézio de bases
e
.
Logo, (d) é verdadeira.
Se
Logo, (d) é verdadeira.
Passo 5
Verificando a alternativa (e):
Se é uma reta, então o polinômio interpolador de grau 1 coincide com
, logo a aproximação é exata e o erro é zero.
Portanto, (e) é verdadeira.
Se
Portanto, (e) é verdadeira.
Passo 6
Verificando a alternativa (c):
O erro da regra do trapézio em um intervalo tem expressão
O erro da regra do trapézio em um intervalo
para algum
.
Note que o sinal do erro depende de , não de
.
A afirmação “o erro será positivo se em
” não faz sentido: mesmo que
seja positiva, o erro só se relaciona com a concavidade
.
Logo, (c) é a alternativa falsa.
Note que o sinal do erro depende de
A afirmação “o erro será positivo se
Logo, (c) é a alternativa falsa.
Resposta
c