Use a Regra dos Trapézios Repetida, com o menor n (número de subintervalos) possível, para calcular uma aproximação da integral \int_{-1}^{-1+1} x e^{x^{3}} d x de modo a garantir um erro inferior a 0,005 .
Observação: Para garantir maior precisão, trabalhe com seis casas decimais nesta questão. Ao final, escolha a opção mais próxima da sua resposta.
a. -0,3469
b. -0,1853
c. -0,3476
d. -0,3484
e. -0,3441

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{-1}^{0} x\,e^{x^{3}}\,dx
usando a Regra dos Trapézios composta de forma repetida, escolhendo o menor número n de subintervalos que garanta erro abaixo de 0,005. Vamos usar o limite do erro para a Regra dos Trapézios e, depois, calcular a quadratura com o n encontrado.

Passo 2

A Regra dos Trapézios composta com passo h=(b-a)/n dá erro satisfeito por
\lvert E_{\text{T}}\rvert \le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\max_{x\in[a,b]}\lvert f''(x)\rvert.
Aqui a=-1, b=0 e f(x)=x\,e^{x^{3}}. Calculando
f'(x)=e^{x^{3}}\,(1+3x^{3}), \quad f''(x)=3x^{2}\,e^{x^{3}}\,(4+3x^{3}).
Em [-1,0], f''(x) é sempre positivo em magnitude e atinge valor máximo aproximado M\approx3{,}1.

Passo 3

Queremos
\frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,M < 0{,}005 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1^{3}}{12\,n^{2}}\times3{,}1 < 0{,}005 \quad\Longrightarrow\quad n^{2} > \frac{3{,}1}{12\times0{,}005}\approx51{,}7
Logo n>7{,}2, e o menor inteiro que satisfaz é n=8.

Passo 4

Com n=8 temos h=(0-(-1))/8=0{,}125. Os nós são
x_{i}=-1+0{,}125\,i,\quad i=0,1,\dots,8,
e
f(x_{i})=x_{i}\,e^{x_{i}^{3}}.
Calculando com seis casas decimais:
\begin{aligned} x_{0}=-1{,}000,\;f_{0}&=-0{,}367879,\\\ x_{1}=-0{,}875,\;f_{1}&\approx -0{,}447688,\\\ x_{2}=-0{,}750,\;f_{2}&=-0{,}491251,\\\ x_{3}=-0{,}625,\;f_{3}&=-0{,}489660,\\\ x_{4}=-0{,}500,\;f_{4}&=-0{,}441249,\\\ x_{5}=-0{,}375,\;f_{5}&=-0{,}355740,\\\ x_{6}=-0{,}250,\;f_{6}&=-0{,}246124,\\\ x_{7}=-0{,}125,\;f_{7}&=-0{,}124756,\\\ x_{8}=0{,}000,\;f_{8}&=0{,}000000. \end{aligned}
A soma dos termos interiores é
\sum_{i=1}^{7}f_{i}\approx -2{,}596468.

Passo 5

Aplica-se a Regra dos Trapézios composta:
T_{8} =\frac{h}{2}\bigl(f_{0}+2\!\sum_{i=1}^{7}f_{i}+f_{8}\bigr) =0{,}0625\bigl(-0{,}367879-5{,}192936+0\bigr) \approx -0{,}347551.

Passo 6

Convertendo para quatro casas decimais, a aproximação é -0{,}3476, que é a opção mais próxima entre as dadas.

Resposta

c. -0,3476

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