Escolha n (número de subintervalos para dividir o intervalo de integração) o menor valor possível para aplicar a regra de Simpson Repetida de modo a obter uma aproximação de 0,34+1
I=\int_{0,34} e^{x^{2}} d x com erro inferior a 0,01 . Coloque o valor aproximado I no campo abaixo.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado pede aproximar
I = \int_{0}^{0,34} e^{x^{2}} \,dx
usando a regra de Simpson repetida (composta) de modo que o erro seja inferior a 0,01. Para isso vamos precisar da fórmula de erro do método de Simpson composta e de um limite para a derivada quarta de f(x)=e^{x^{2}} no intervalo [0,0,34].

Passo 2

Calculamos f^{(4)}(x). Partindo de f(x)=e^{x^{2}}:
f'(x)=2x\,e^{x^{2}},\quad f''(x)=(2+4x^{2})\,e^{x^{2}},\quad f'''(x)=(12x+8x^{3})\,e^{x^{2}},
f^{(4)}(x)=(12+48x^{2}+16x^{4})\,e^{x^{2}}.
No intervalo dado, x\in[0,0,34], o máximo de \lvert f^{(4)}(x)\rvert ocorre em x=0,34. Calculando
12+48(0,34)^{2}+16(0,34)^{4}\approx17,76, \quad e^{(0,34)^{2}}=e^{0,1156}\approx1,1226,
temos
M=\max_{[0,0,34]}|f^{(4)}(x)|\approx17,76\times1,1226\approx19,94.

Passo 3

A fórmula de erro para a regra de Simpson composta com n subintervalos ( n par) é
\bigl|E_S\bigr|\le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,\max_{[a,b]}|f^{(4)}(x)|,
onde h=(b-a)/n. Aqui a=0, b=0,34, logo h=0,34/n. Substituindo,
|E_S|\le \frac{0,34}{180}\Bigl(\frac{0,34}{n}\Bigr)^{4}M \approx \frac{0,34}{180}\frac{0,34^{4}}{n^{4}}\times19{,}94 \approx \frac{0,0005047}{n^{4}}.

Passo 4

Queremos \frac{0,0005047}{n^{4}}<0,01, isto é
n^{4}>\frac{0,0005047}{0,01}=0,05047
Logo n>0,50. O menor n par que satisfaz é n=2.

Passo 5

Com n=2 temos h=(0,34-0)/2=0,17 e nós
x_{0}=0,\quad x_{1}=0,17,\quad x_{2}=0,34.
Aplicando a regra de Simpson composta:
I\approx \frac{h}{3}\bigl[f(x_{0})+4f(x_{1})+f(x_{2})\bigr] =\frac{0,17}{3}\bigl[e^{0^{2}}+4e^{(0,17)^{2}}+e^{(0,34)^{2}}\bigr].
Como e^{0}=1, e^{0,17^{2}}=e^{0,0289}\approx1,0293 e e^{0,34^{2}}=e^{0,1156}\approx1,1226, temos
I\approx \frac{0,17}{3}\bigl[1+4\cdot1,0293+1,1226\bigr] =\frac{0,17}{3}\times6,2398 \approx0,3536.

Resposta

0,3536

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