Use a regra dos trapézios repetida, com o menor n (número de subintervalo) possível, para calcular uma aproximação da integral \int_{-1,24}^{-1,24+1} x e^{x^{3}} \mathrm{dx} de modo a garantir um erro inferior a 0,005.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{-1,24}^{-0,24} x\,e^{x^3}\,\mathrm{d}x
usando a regra dos trapézios composta com o menor número de subintervalos n de modo que o erro seja menor que 0,005. Vamos usar o fato de que, para passo h=(b-a)/n e M=\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|, o erro total satisfaça
|E_T|\le \frac{b-a}{12}\,h^2\,M.
Aqui a=-1,24, b=-0,24 e f(x)=x\,e^{x^3}.

Passo 2

Primeiro calculamos f'(x) e f''(x).
Em notação:
f(x)=x\,e^{x^3}, \quad f'(x)=e^{x^3}+x\cdot e^{x^3}\cdot3x^2 =e^{x^3}\bigl(1+3x^3\bigr),
f''(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl[e^{x^3}(1+3x^3)\bigr] =3x^2\,e^{x^3}(1+3x^3)+e^{x^3}\cdot9x^2 =e^{x^3}x^2\,(9x^3+12).
Para usar o bound, avaliamos \bigl|f''(x)\bigr| nos extremos x=-1,24 e x=-0,24:
em x=-1,24 obtém-se \bigl|f''(-1,24)\bigr|\approx1,18,
em x=-0,24 obtém-se \bigl|f''(-0,24)\bigr|\approx0,67.
Logo podemos tomar
M=\max_{[-1,24,-0,24]}|f''(x)|\approx1,18.

Passo 3

O comprimento do intervalo é
b-a=(-0,24)-(-1,24)=1,
então h=1/n e o erro satisfaz
|E_T|\le \frac{1}{12}\,h^2\,M =\frac{1}{12}\,\frac{M}{n^2}.
Queremos \frac{M}{12\,n^2}<0,005, isto é
n^2>\frac{M}{12\cdot0,005} \approx\frac{1,18}{0,06}\approx19,67 \quad\Longrightarrow\quad n\ge5.

Passo 4

Com n=5 temos h=1/5=0,2 e os nós
x_k=-1,24+0,2k,\;k=0,1,\dots,5.
Calculamos f_k=f(x_k)=x_k\,e^{x_k^3}:
(f_0,f_1,f_2,f_3,f_4,f_5)\approx(-0,1846,\,-0,3374,\,-0,4644,\,-0,4924,\,-0,4041,\,-0,2367).
A regra dos trapézios composta dá
T=\;h\Bigl[\tfrac{f_0+f_5}{2}+\sum_{k=1}^{4}f_k\Bigr] =0,2\Bigl[\tfrac{-0,1846-0,2367}{2}+(-1,6983)\Bigr] \approx-0,3818.

Resposta

A aproximação pelo trapézio composto com n=5 é
\int_{-1,24}^{-0,24}x\,e^{x^3}\,\mathrm{d}x\approx -0,382,
com erro garantido menor que 0,005.

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