Suponha que aplicamos a regra dos Trapézios Repetida para aproximar o valor da integral de f(x) no intervalo [a, b]. Neste caso, o erro na Regra dos Trapézios Repetida é dado por
E_{T R}=-\frac{n h^{3}}{12} f^{\prime \prime}(\xi)
onde \xi é
Escolha uma opção:
a. um número irracional
b. o número do intervalo [a, b] onde a terceira derivada de f vale zero.
c. o número do intervalo [a, b] onde a segunda derivada de f atinge seu valor máximo
d. o número do intervalo [a, b] onde o módulo da segunda derivada de f atinge seu valor máximo
e. um valor no intervalo [a, b]

Passo 1

O enunciado trata da Regra dos Trapézios Repetida, em que dividimos [a,b] em n subintervalos de largura h=(b-a)/n e obtemos o erro
E_{TR} = -\frac{n\,h^{3}}{12}\,f''(\xi).
Pergunta-se o que é esse \xi.

Passo 2

Para obter esse termo de erro usamos o Teorema do Valor Médio para integrais (ou o resto de Taylor na forma integral) em cada subintervalo. Esse teorema garante apenas que existe pelo menos um ponto \xi dentro de [a,b] em que a segunda derivada de f deve ser avaliada para que o erro seja exatamente igual a essa expressão. Não há condição sobre ser máximo, mínimo, irracional ou zerar alguma derivada superior.

Passo 3

Analisando as alternativas:
– (a) não exige irracionalidade;
– (b) menciona “terceira derivada zero” (irrelevante aqui);
– (c) e (d) falam em máximo de f'' ou \lvert f''\rvert (o teorema não fixa o ponto de máximo, apenas garante existência de algum ponto);
– (e) afirma que \xi é “um valor no intervalo [a,b]”, exatamente o que assegura o teorema.

Resposta

e. um valor no intervalo [a,b]

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