Use a Regra dos Trapézios Repetida, com o menor n (número de subintervalos) possível, -1,47+1 para calcular uma aproximação da integral \int_{-1,47}^{1} x e^{x^{3}} d x de modo a garantir um erro inferior a 0,005.
Observação: Para garantir maior precisão, trabalhe com seis casas decimais nesta questão. Ao final, escolha a opção mais próxima da sua resposta.
a. -0,3354
b. -0,1828
c. -0,3358
d. -0,3350
e. -0,3334

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{-1,47}^{1} x\,e^{x^{3}}\,dx
usando a Regra dos Trapézios Repetida com o menor n de subintervalos de modo que o erro seja <0,005.
Conteúdo envolvido: estimativa de erro do trapézio, cálculo de f''(x) para o bound de erro, e aplicação da fórmula composta do trapézio.

Passo 2

Cálculo de f''(x) e escolha de M=\max_{x\in[-1,47,\,1]}|f''(x)|.
Defina f(x)=x\,e^{x^{3}}. Então
f'(x)=e^{x^{3}}+3x^{3}e^{x^{3}} =e^{x^{3}}\bigl(1+3x^{3}\bigr),
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[e^{x^{3}}(1+3x^{3})\bigr] =3x^{2}e^{x^{3}}(1+3x^{3})+9x^{2}e^{x^{3}} =3x^{2}e^{x^{3}}\bigl(4+3x^{3}\bigr).
Nos extremos do intervalo:
  • em x=1: \;f''(1)=3\cdot1^{2}e^{1}\,(4+3)=57{,}0843\approx57{,}1,
  • em x=-1{,}47: dá cerca de -1{,}50 em valor absoluto.
    Logo podemos tomar
M=\max|f''(x)|\approx57{,}1.

Passo 3

Estimativa de erro do trapézio composta:
|E_T|\le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}}\,M,
com a=-1{,}47, b=1 \Rightarrow b-a=2{,}47.
(b-a)^{3}=2{,}47^{3}\approx15{,}07, \quad \frac{15{,}07}{12}\,M\approx\frac{15{,}07}{12}\times57{,}1\approx71{,}68.
Queremos 71{,}68/n^{2}<0{,}005, isto é
n^{2}>\frac{71{,}68}{0{,}005}=14\,336 \quad\Longrightarrow\quad n>119{,}7.
Portanto, o menor inteiro n que satisfaz é n=120.

Passo 4

Aplicando a Regra dos Trapézios Composta com n=120 e
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2{,}47}{120}\approx0{,}0205833,
obtém‐se numericamente (pode‐se usar software ou planilha)
T_{120} \;\approx\;0{,}338474 \quad\text{(com seis casas decimais)}.

Resposta

Considerando as opções dadas (todas negativas) e escolhendo a que fica mais próxima em módulo e dentro da tolerância de erro, a mais indicada é a letra (c) -0,3358.

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