Questão 6. Como alternativa ao cálculo da Jacobiana no Método de Newton, cada derivada parcial de
F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} pode ser aproximada por
\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(x) \approx \frac{1}{h}\left[f_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, x_{j}+h, x_{j+1}, \ldots, x_{n}\right)-f_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right]=\frac{f_{i}\left(x+h e_{j}\right)-f_{i}(x)}{h},
onde
e_{j} é a j-ésima coluna da identidade. Dessa forma, em cada iteração, a matriz
J\left(x^{(k)}\right) é trocada pela matriz
B^{(k)} dada por
\left[B^{(k)}\right]_{i j}=\frac{f_{i}\left(x^{(k)}+h_{k} e_{j}\right)-f_{i}\left(x^{(k)}\right)}{h_{k}} .
Observe que este passo elimina a necessidade de cálculo da Jacobiana, mas requer um aumento nas
avaliações da função
F(x).
a) Construa um algoritmo para esse método e implemente o código em alguma linguagem de programação. Exiba tanto o algoritmo genérico quanto o código na linguagem escolhida e as modificações feitas conforme os itens (b) e (c)…
b) Tome
h=10^{-10}, use o programa para resolver o sistema (1) e compare os resultados com os métodos de Newton, de Newton Modificado e de Broyden.
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=2 \\\ x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1 \end{array}\right.
c) Em cada iteração, tome
h_{k}=\frac{\left\|F\left(x^{(k)}\right)\right\|_{\infty}}{2} e repita o que foi feito no item (b).