Escreva os cinco primeiros valores da sequência:
\begin{aligned} & \mathrm{P}(1)=1 \\\ & \mathrm{P}(\mathrm{n})=\mathrm{n}^{2} \mathrm{P}(\mathrm{n}-1)+(\mathrm{n}-1) \quad, \text { para } \mathrm{n} \text { maior ou igual que } 2 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado define a sequência \mathrm{P}(n) pela condição inicial
\mathrm{P}(1)=1
e pela recorrência
\mathrm{P}(n)=n^{2}\,\mathrm{P}(n-1)+(n-1),\quad n\ge2.
Queremos os cinco primeiros termos, ou seja, \mathrm{P}(1) até \mathrm{P}(5), aplicando a fórmula de cada termo em função do anterior.

Passo 2

Calculamos \mathrm{P}(1) diretamente da condição inicial:
\mathrm{P}(1)=1.

Passo 3

Para n=2, aplicamos a recorrência:
\mathrm{P}(2)=2^{2}\,\mathrm{P}(1)+(2-1)=4\cdot1+1=5.

Passo 4

Para n=3, temos
\mathrm{P}(3)=3^{2}\,\mathrm{P}(2)+(3-1)=9\cdot5+2=45+2=47.

Passo 5

Para n=4, aplicamos
\mathrm{P}(4)=4^{2}\,\mathrm{P}(3)+(4-1)=16\cdot47+3=752+3=755.

Passo 6

Por fim, para n=5:
\mathrm{P}(5)=5^{2}\,\mathrm{P}(4)+(5-1)=25\cdot755+4=18875+4=18879.

Resposta

\mathrm{P}(1)=1,\;\mathrm{P}(2)=5,\;\mathrm{P}(3)=47,\;\mathrm{P}(4)=755,\;\mathrm{P}(5)=18879.

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