Uma pessoa decide investir um valor inicial de
2.000,00 \mathrm{em}
10 %$ ao ano. O valor total na conta é verificado no final de cada ano.
Defina uma relação de recorrência para a sequência
, o valor total na conta no início do n-ésimo ano. Após quantos anos o valor na conta será de R
?
Passo 1
O enunciado diz que alguém aplica
e recebe juros compostos de
ao ano, com capitalização anual. Queremos definir uma relação de recorrência para
, valor no início do
-ésimo ano, e determinar após quantos anos teremos
. O conteúdo envolve juros compostos e resolução de equação exponencial.
Passo 2
Como todo ano o capital cresce
, o valor no início do ano
é
vezes o valor no início do ano
. Assim, a recorrência é
com condição inicial
Passo 3
Para resolver a recorrência, usamos que em juros compostos o valor após
períodos é
ou seja
Passo 4
Queremos
. Logo,
Como
, segue
, isto é
.
Passo 5
O índice
conta o início do ano
. Chegamos a
, que significa o início do quarto ano, ou seja, após 3 anos completos teremos o valor
.
Resposta
A relação de recorrência é
e o valor atinge
após 3 anos.