Uma pessoa decide investir um valor inicial de \mathrm{R} \ 2.000,00 \mathrm{em} uma aplicação financeira que rende juros compostos deçã10 %$ ao ano. O valor total na conta é verificado no final de cada ano.
Defina uma relação de recorrência para a sequência V(n), o valor total na conta no início do n-ésimo ano. Após quantos anos o valor na conta será de R 2.662,00 ?

Passo 1

O enunciado diz que alguém aplica \mathrm{R}\$\,2000,00 e recebe juros compostos de 10\% ao ano, com capitalização anual. Queremos definir uma relação de recorrência para V(n), valor no início do n-ésimo ano, e determinar após quantos anos teremos \mathrm{R}\$\,2662,00. O conteúdo envolve juros compostos e resolução de equação exponencial.

Passo 2

Como todo ano o capital cresce 10\%, o valor no início do ano n é 1{,}1 vezes o valor no início do ano n-1. Assim, a recorrência é
V(n) = 1{,}1 \,V(n-1),
com condição inicial
V(1)=2000.

Passo 3

Para resolver a recorrência, usamos que em juros compostos o valor após n-1 períodos é
V(n)=V(1)\,(1{,}1)^{\,n-1}
ou seja
V(n)=2000\,(1{,}1)^{\,n-1}.

Passo 4

Queremos V(n)=2662. Logo,
2000\,(1{,}1)^{\,n-1}=2662 \quad\Longrightarrow\quad (1{,}1)^{\,n-1}=\frac{2662}{2000}=1{,}331.
Como 1{,}1^{3}=1{,}331, segue n-1=3, isto é n=4.

Passo 5

O índice n conta o início do ano n. Chegamos a n=4, que significa o início do quarto ano, ou seja, após 3 anos completos teremos o valor \mathrm{R}\$\,2662,00.

Resposta

A relação de recorrência é
V(n)=1{,}1\,V(n-1),\quad V(1)=2000
e o valor atinge \mathrm{R}\$\,2662,00 após 3 anos.

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