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Achar a solução exata P V I: y^{\prime}+2 y=x+5 \operatorname{com} y(0)=4
Passo 1
O problema fornece o problema de valor inicial (PVI)
y'+2y=x+5,\qquad y(0)=4.
O que se pede: encontrar a solução exata y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Informações dadas: a equação diferencial é de primeira ordem linear não homogênea com coeficiente constante; a condição inicial é y(0)=4.
Passo 2
Escolhendo o método: vamos usar o fator integrante (método padrão para equações da forma \,y'+p(x)y=q(x)\,). Vou explicar por quê e como funciona. Seja uma equação
y'+p(x)y=q(x).
Definimos o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Isso porque, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y. De fato, como \mu'(x)=p(x)\mu(x), temos
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu(y'+p y).
Ou seja, multiplicando por \mu simplificamos a equação para uma forma integrável direta. As variáveis aqui são: y=y(x) incógnita, p(x) o coeficiente de y e q(x) o termo não homogêneo.
Passo 3
Na nossa equação identificamos p(x)=2 e q(x)=x+5. Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Obs.: constantes multiplicativas no fator integrante não alteram a solução, então tomamos \mu(x)=e^{2x}.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{2x}:
e^{2x}y'+2e^{2x}y=e^{2x}(x+5).
Pelo que vimos no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
(e^{2x}y)'=e^{2x}(x+5).
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a x:
\int (e^{2x}y)'\,dx=\int e^{2x}(x+5)\,dx.
Daí
e^{2x}y=\int x e^{2x}\,dx +5\int e^{2x}\,dx +C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos as integrais separadamente. Para \int x e^{2x}\,dx usamos integração por partes: escolha u=x e dv=e^{2x}dx. Então du=dx e v=\tfrac{1}{2}e^{2x}. Assim
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}-\int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}.