Resolver todas às questões.
Achar a melhor reta e determinar b_{0} ; b_{1} e D com os dados a seguir
\left[\begin{array}{cccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ x_{i} & 6,5 & 7,5 & 8,5 & 9,5 & 12,5 \\ y_{i} & 4,5 & 6,0 & 5,0 & 3,0 & 6,5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: "Achar a melhor reta e determinar [b_{0}), b_{1} e D" usando os dados abaixo. Os dados fornecidos são (copiei a tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline x_i & 6,5 & 7,5 & 8,5 & 9,5 & 12,5\\\ y_i & 4,5 & 6,0 & 5,0 & 3,0 & 6,5 \end{array}
Portanto:
\begin{cases} n=5,\\[4pt] x_1=6,5,\;x_2=7,5,\;x_3=8,5,\;x_4=9,5,\;x_5=12,5,\\[4pt] y_1=4,5,\;y_2=6,0,\;y_3=5,0,\;y_4=3,0,\;y_5=6,5. \end{cases}
O que precisa ser entregue: os coeficientes da reta de regressão linear por mínimos quadrados \hat{y}=b_0+b_1 x\] (isto é, \(b_0 e b_1) e D (vou interpretar D como o coeficiente de determinação, isto é, R^2; explico o porquê na sequência).]

Passo 2

Escolha do método e fórmulas essenciais (aula rápida e prática).
  • Para ajustar uma reta \hat{y}=b_0+b_1 x por mínimos quadrados usamos as fórmulas clássicas:
b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad b_0=\bar{y}-b_1\bar{x},
onde
S_{xy}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\sum_{i=1}^n x_i y_i - n\bar{x}\bar{y},
S_{xx}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2.
  • Aqui \bar{x} e \bar{y} são as médias amostrais:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i.
  • O coeficiente de determinação R^2 (que estou chamando de D) mede a fração da variabilidade total de y explicada pelo modelo. Ele é dado por
D=R^2=\frac{SSR}{SST}=\frac{b_1 S_{xy}}{SST},
onde
SST=\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2=\sum_{i=1}^n y_i^2 - n\bar{y}^2,
SSR=b_1 S_{xy}\quad\text{(soma de quadrados explicada)},
SSE=SST-SSR\quad\text{(soma de quadrados dos resíduos)}.í
Explicação curta: escolhi mínimos quadrados porque é o procedimento padrão para “melhor reta” quando se quer minimizar soma dos quadrados dos erros. Escolhi D como coeficiente de determinação porque, em muitos exercícios desse tipo no contexto de regressão, D representa exatamente isso — a proporção da variância de y explicada pela reta.

Passo 3

Calcular as médias \bar{x} e \bar{y}.
\sum_{i=1}^5 x_i=6,5+7,5+8,5+9,5+12,5=44,5.
\bar{x}=\frac{44,5}{5}=8,9.
\sum_{i=1}^5 y_i=4,5+6,0+5,0+3,0+6,5=25,0.
\bar{y}=\frac{25,0}{5}=5,0.

Passo 4

Calcular as somas necessárias \sum x_i y_i, \sum x_i^2 e \sum y_i^2.
Calculei cada produto e quadrado (mostro os cálculos):
\begin{aligned} \sum_{i=1}^5 x_i y_i &=6,5\cdot4,5+7,5\cdot6,0+8,5\cdot5,0+9,5\cdot3,0+12,5\cdot6,5\\\ &=29,25+45,00+42,50+28,50+81,25=226,50. \end{aligned}
\begin{aligned} \sum_{i=1}^5 x_i^2 &=6,5^2+7,5^2+8,5^2+9,5^2+12,5^2\\\ &=42,25+56,25+72,25+90,25+156,25=417,25. \end{aligned}
\begin{aligned} \sum_{i=1}^5 y_i^2 &=4,5^2+6,0^2+5,0^2+3,0^2+6,5^2\\\ &=20,25+36,00+25,00+9,00+42,25=132,50. \end{aligned}

Passo 5

Calcular S_{xy} e S_{xx} usando as fórmulas com médias já encontradas.
S_{xy}=\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}=226,50 - 5\cdot 8,9\cdot 5,0.
5\cdot 8,9\cdot5,0=5\cdot 44,5=222,50.
S_{xy}=226,50-222,50=4,00.
S_{xx}=\sum x_i^2 - n\bar{x}^2=417,25 - 5\cdot(8,9)^2.
(8,9)^2=79,21\quad\Rightarrow\quad 5\cdot79,21=396,05.
S_{xx}=417,25-396,05=21,20.

Passo 6

Encontrar b_1 e b_0.
b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{4,00}{21,20}=0,1886792453\approx0,18868.
b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}=5,0 - 0,1886792453\cdot 8,9.
0,1886792453\cdot 8,9=1,679245283\quad\Rightarrow\quad b_0=5,0-1,679245283=3,320754717\approx3,32075.
Portanto a reta ajustada (reta de regressão) é
\hat{y}=3,320754717 + 0,1886792453\,x\quad(\text{aprox. }\hat{y}=3,3208+0,18868x).

Passo 7

Verificação e cálculo do SST, SSR e SSE para obter D.
Primeiro SST:
SST=\sum (y_i-\bar{y})^2=\sum y_i^2 - n\bar{y}^2=132,50 - 5\cdot 5,0^2.
5\cdot 5,0^2=5\cdot25=125,00\quad\Rightarrow\quad SST=132,50-125,00=7,50.
Agora SSR:
SSR=b_1 S_{xy}=0,1886792453\cdot 4,00=0,7547169812\approx0,75472.
E SSE=SST-SSR=7,50-0,7547169812=6,7452830188\approx6,74528.

Passo 8

Calcular D (coeficiente de determinação R^2) e interpretar.
D=R^2=\frac{SSR}{SST}=\frac{0,7547169812}{7,50}=0,100629\approx0,10063.
Interpretação curta: D\approx0,10063 significa que cerca de 10{,}06\% da variabilidade total de y é explicada pela reta ajustada; o ajuste é fraco nesse sentido (essa observação só para você se animar a ver que interpretar números faz parte do estudo).

Resposta

b_0 = 3,320754717
b_1 = 0,1886792453
D = 0,100629

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