Escrever a equação da reta que aproxima o conjunto de pontos dados, usando o critério dos mínimos quadrados.
\left{P_{1}=(0,0) ; P_{2}=(2,5) ; P_{3}=(3,8) ; P_{4}=(4,9)\right.

Passo 1

O enunciado pede: “Escrever a equação da reta que aproxima o conjunto de pontos dados, usando o critério dos mínimos quadrados.”
Os pontos fornecidos são (peguei estes pontos do enunciado):
  • P_{1}=(0,0)
  • P_{2}=(2,5)
  • P_{3}=(3,8)
  • P_{4}=(4,9)
O que temos que entregar: a equação da reta no formato y = a + b x que minimiza a soma dos quadrados dos erros (resíduos) entre os y observados e os y previstos pela reta.

Passo 2

Explicação do método (o que é minimizar os mínimos quadrados).
  • Chamamos a o coeficiente linear (intercepto) e b o coeficiente angular (inclinação) da reta ajustada.
  • Para cada ponto (x_i,y_i) o resíduo é r_i = y_i - (a + b x_i). A ideia dos mínimos quadrados é escolher a e b que minimizam a soma dos quadrados desses resíduos:
S(a,b)=\sum_{i=1}^{n} \bigl(y_i - (a + b x_i)\bigr)^2.
  • Por que quadrados? Porque quadrar penaliza grandes desvios e torna a função diferenciável, permitindo usar derivadas para encontrar o mínimo.
Para encontrar o mínimo, derivamos S em relação a a e a b e igualamos a zero (condições de otimalidade). Isso gera as equações normais:
\frac{\partial S}{\partial a}= -2\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - a - b x_i\bigr)=0,
\frac{\partial S}{\partial b}= -2\sum_{i=1}^{n}x_i\bigl(y_i - a - b x_i\bigr)=0.
Simplificando, obtemos o sistema linear
\begin{cases} \sum_{i=1}^{n} y_i = n a + b \sum_{i=1}^{n} x_i,\\[4pt] \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = a \sum_{i=1}^{n} x_i + b \sum_{i=1}^{n} x_i^2. \end{cases}]

Passo 3

Fórmulas práticas para a e b. Resolvendo o sistema acima obtém-se as fórmulas usuais:
b=\dfrac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2},
a=\dfrac{1}{n}\left(\sum y_i - b\sum x_i\right).
Aqui:
  • n é o número de pontos;
  • \sum x_i é a soma das abscissas;
  • \sum y_i é a soma das ordenadas;
  • \sum x_i^2 é a soma dos quadrados das abscissas;
  • \sum x_i y_i é a soma dos produtos x_i y_i.

Passo 4

Calcular as somas a partir dos pontos (peguei os pontos do enunciado):
  • n=4.
  • \sum x_i = 0 + 2 + 3 + 4 = 9.
  • \sum y_i = 0 + 5 + 8 + 9 = 22.
  • \sum x_i^2 = 0^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 0 + 4 + 9 + 16 = 29.
  • \sum x_i y_i = 0\cdot0 + 2\cdot5 + 3\cdot8 + 4\cdot9 = 0 + 10 + 24 + 36 = 70.

Passo 5

Calcular o coeficiente angular b usando a fórmula:
b=\dfrac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}.
Substituindo os valores:
b=\dfrac{4\cdot 70 - 9\cdot 22}{4\cdot 29 - 9^2}=\dfrac{280 - 198}{116 - 81}=\dfrac{82}{35}.
Como número decimal (apenas para intuição): \dfrac{82}{35}\approx 2,342857.

Passo 6

Calcular o intercepto a pela fórmula
a=\dfrac{1}{n}\left(\sum y_i - b\sum x_i\right).
Substituindo:
a=\dfrac{1}{4}\left(22 - \dfrac{82}{35}\cdot 9\right).
Calcule o produto \dfrac{82}{35}\cdot 9=\dfrac{738}{35}. Então
22-\dfrac{738}{35}=\dfrac{770}{35}-\dfrac{738}{35}=\dfrac{32}{35}.
Logo
a=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{32}{35}=\dfrac{32}{140}=\dfrac{8}{35}.
Em decimal: \dfrac{8}{35}\approx 0,228571.

Passo 7

Escrever a equação da reta ajustada. Substituindo a e b na forma y=a+bx:
y=\dfrac{8}{35}+\dfrac{82}{35}\,x.
Opcionalmente, em forma simplificada de um único quociente:
y=\dfrac{8+82x}{35}.

Resposta

y=\dfrac{8}{35}+\dfrac{82}{35}\,x

Exercícios relacionados