Escrever a equação da reta que aproxima o conjunto de pontos dados, usando o critério dos mínimos quadrados.
\left{P_{1}=(0,0) ; P_{2}=(2,5) ; P_{3}=(3,8) ; P_{4}=(4,9)\right.
\left{P_{1}=(0,0) ; P_{2}=(2,5) ; P_{3}=(3,8) ; P_{4}=(4,9)\right.
Passo 1
O enunciado pede: “Escrever a equação da reta que aproxima o conjunto de pontos dados, usando o critério dos mínimos quadrados.”
Os pontos fornecidos são (peguei estes pontos do enunciado):
Os pontos fornecidos são (peguei estes pontos do enunciado):
O que temos que entregar: a equação da reta no formato
que minimiza a soma dos quadrados dos erros (resíduos) entre os
observados e os
previstos pela reta.
Passo 2
Explicação do método (o que é minimizar os mínimos quadrados).
- Chamamos
o coeficiente linear (intercepto) e o coeficiente angular (inclinação) da reta ajustada. - Para cada ponto
o resíduo é . A ideia dos mínimos quadrados é escolher e que minimizam a soma dos quadrados desses resíduos:
- Por que quadrados? Porque quadrar penaliza grandes desvios e torna a função diferenciável, permitindo usar derivadas para encontrar o mínimo.
Para encontrar o mínimo, derivamos
em relação a
e a
e igualamos a zero (condições de otimalidade). Isso gera as equações normais:
Simplificando, obtemos o sistema linear
Passo 3
Fórmulas práticas para
e
. Resolvendo o sistema acima obtém-se as fórmulas usuais:
Aqui:
-
é o número de pontos; -
é a soma das abscissas; -
é a soma das ordenadas; -
é a soma dos quadrados das abscissas; -
é a soma dos produtos .
Passo 4
Calcular as somas a partir dos pontos (peguei os pontos do enunciado):
-
. -
. -
. -
. -
.
Passo 5
Calcular o coeficiente angular
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Como número decimal (apenas para intuição):
.
Passo 6
Calcular o intercepto
pela fórmula
Substituindo:
Calcule o produto
. Então
Logo
Em decimal:
.
Passo 7
Escrever a equação da reta ajustada. Substituindo
e
na forma
:
Opcionalmente, em forma simplificada de um único quociente: