Escrever a regra da cadeia para h(x, y, z) onde x=x(u, v, w), y=y(u, v) e z=z(w).

Passo 1

O enunciado pede para a gente escrever a regra da cadeia para
h(x,y,z)
onde
x = x(u,v,w), y = y(u,v), z = z(w)
Conteúdo: Regra da cadeia em cálculo multivariável.
O que vamos precisar:
  • Entender como escrever .
  • Saber o enunciado da regra da cadeia: como combinar derivadas parciais de com as derivadas das funções internas.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos “ver” a composição: definimos
H(u,v,w)=hl(x(u,v,w),,y(u,v),,z(w)r)
Teoria da regra da cadeia (multivariada): se você tem partial Hpartial u =partial hpartial x,partial xpartial u +partial hpartial y,partial ypartial u +partial hpartial z,partial zpartial u e cada uma dessas variáveis depende de , então, pra cada variável interna , a derivada parcial de é a soma das derivações de em cada “ramo” multiplicadas pela derivada dessa variável interna em cada ramo. Em fórmula geral:
Mas note que depende só de , logo . E independe de , logo .

Passo 3

Vamos aplicar isso para cada variável interna:
  1. Derivada parcial de partial Hpartial u =partial hpartial x,partial xpartial u +partial hpartial y,partial ypartial u +underbracepartial hpartial z,partial zpartial u=0 =partial hpartial x,xu +partial hpartial y,yu em relação a partial Hpartial v =partial hpartial x,xv +partial hpartial y,yv +underbracepartial hpartial z,partial zpartial v=0 =partial hpartial x,xv +partial hpartial y,yv :
partial Hpartial w =partial hpartial x,xw +underbracepartial hpartial y,partial ypartial w=0 +partial hpartial z,zw =partial hpartial x,xw +partial hpartial z,zw
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :

Resposta

Portanto, usando abreviações boxed Hu &= hx,xu ;+; hy,yu, Hv &= hx,xv ;+; hy,yv, Hw &= hx,xw ;+; hz,zw etc., temos:

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