Determinar o plano tangente.
f(x, y)=x e^x+y ; P(1,1, f(1,1)). Encontre uma aproximação para f(1,05 ; 0,9).

Passo 1

Beleza, a gente tem a função
f(x,y) = x,e^,x+y
e o ponto de tangência . O exercício pede duas coisas:
  1. Encontrar o plano tangente a em .
  2. Usar esse plano para aproximar .
Matéria envolvida: derivadas parciais e aproximação linear (plano tangente). Vamos precisar calcular as derivadas parciais de , montar o plano tangente e depois avaliar esse plano no ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar fx(x,y) = partialpartial xl(x,e^x+yr) = e^x+y + x,e^x+y = e^x+y(1+x) e as derivadas parciais em fx(1,1) = e^2,(1+1) = 2e^2 .
  1. fy(x,y) = partialpartial yl(x,e^x+yr) = x,e^x+y .
  2. Derivada parcial em relação a fy(1,1) = 1cdot e^2 = e^2 : Logo
  3. Derivada parcial em relação a : Logo

Passo 3

Agora montamos o plano tangente em z approx f(a,b) + fx(a,b),(x-a) + fy(a,b),(y-b) . A fórmula da aproximação linear (plano tangente) é
z approx e^2 + 2e^2,(x-1) + e^2,(y-1)
Substituindo:
Esse é o nosso plano.

Passo 4

Para aproximar z approx e^2 + 2e^2cdot(0,05) + e^2cdot(-0,1) , basta pôr z approx e^2 + 0,1e^2 - 0,1e^2 = e^2 e no plano:
Definindo e , temos
Calculando os incrementos:
Então

Resposta

Usando o plano tangente, a aproximação de boxede^2 é

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