Determinar o plano tangente.
. Encontre uma aproximação para
.
Passo 1
Beleza, a gente tem a função
e o ponto de tangência
. O exercício pede duas coisas:
- Encontrar o plano tangente a
em . - Usar esse plano para aproximar
.
Matéria envolvida: derivadas parciais e aproximação linear (plano tangente). Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
, montar o plano tangente e depois avaliar esse plano no ponto desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar
e as derivadas parciais em
.
-
. - Derivada parcial em relação a
: Logo - Derivada parcial em relação a
: Logo
Passo 3
Agora montamos o plano tangente em
. A fórmula da aproximação linear (plano tangente) é
Substituindo:
Esse é o nosso plano.
Passo 4
Para aproximar
, basta pôr
e
no plano:
Definindo
e
, temos
Calculando os incrementos:
Então
Resposta
Usando o plano tangente, a aproximação de
é