Estime raiz17 usando interpolacao de Lagrange sobre os pontos x0=0, x1=16, x2=25
(b) Utilize o valor raiz17 dado pela sua calculadora e compare com valor estimado pela interpolacao. A precisão está coerente? Comente.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente estimar usando interpolação de Lagrange com os pontos
, e .
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange (grau 2).
O que vamos precisar:
  1. A fórmula geral do polinômio de Lagrange de grau 2
  2. Calcular os “pesos” , e
  3. Montar e comparar com o valor real de .

Passo 2

Primeiro, lembra da fórmula do polinômio de Lagrange (grau 2):
P2(x)=sumi=0^2 yi,Li(x), Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^2x - xjxi - xj
No nosso caso, :
, , .

Passo 3

Calcular cada :

Passo 4

Agora monta P2(17) = y0L0(17)+y1L1(17)+y2L2(17) =0cdot(-0.02)+4cdot1718+5cdot17225 :
4cdot1718=6818=349approx3.77778, 5cdot17225=85225=1745approx0.37778
Calculemos:
P2(17)approx3.77778+0.37778=4.15556
Somando:

Passo 5

Valor real pelo calculador:
|4.15556-4.12311|approx0.03245,
Diferença:
ou seja, cerca de de erro.
Comentário:
O polinômio quadrático tá dando uma aproximação razoável, mas como não é exatamente um polinômio, sobra esse erro de arredondamento. Se a gente escolhesse pontos mais “perto” de 17 ou aumentasse o grau, o erro diminuiria.

Resposta

Valor estimado por interpolação: .
Valor real: .
O erro (~0.8%) é coerente para uma interpolação de grau 2 nos pontos dados.

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