As respostas dos exercícios abaixo deve ser justificadas. Respostas sem justificativas não serão aceitas. Escolha apenas 5 questões para resolver. Se mais questões forem resolvidas, apenas as resoluções das 5 primeiras serão consideradas.
Resolva o sistema linear abaixo pelo método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. Indique todos os passos do método que fizer.

Passo 1

Beleza, temos o seguinte sistema linear para resolver pelo método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:
x + y = 2, 4x - 3y + z = 3, 2y - 4z = 0
Conteúdo: álgebra linear – resolução de sistemas via eliminação de Gauss.
O que vamos precisar:
  • Escrever a matriz aumentada do sistema.
  • Fazer trocas de linha (pivoteamento parcial) para evitar divisões por zeros e reduzir erro numérico.
  • Eliminar variáveis coluna a coluna até obter uma matriz triangular superior.
  • Fazer substituição regressiva (back‐substitution) para achar .

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada [ccc|c 1 & 1 & 0 & 2 4 & -3 & 1 & 3 0 & 2 & -4 & 0 ] :
[ccc|c boxed4 & -3 & 1 & 3 1 & 1 & 0 & 2 0 & 2 & -4 & 0 ]
Teoria rápida: pivoteamento parcial significa, em cada coluna, escolher na submatriz atual a linha com maior valor absoluto naquela coluna e trocar com a linha do pivô para melhorar a estabilidade.
Coluna 1 (variável [ccc|c 4 & -3 & 1 & 3 0 & 1,75 & -0,25 & 1,25 0 & 2 & -4 & 0 ] ): os valores absolutos são , , . O maior é 4 na linha 2. Então trocamos linha 1 com linha 2:
Agora usamos o pivô para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
  • Nova linha 2 = (linha 2) – ,(linha 1)
  • A linha 3 já tem zero nessa coluna, então não mexemos.
Fazendo:
linha 2:

.
A matriz fica:

Passo 3

Agora passamos à coluna 2 (variável [ccc|c 4 & -3 & 1 & 3 0 & 2 & -4 & 0 0 & 1,75 & -0,25 & 1,25 ] ). Olhamos as linhas 2 e 3 para pivoteamento parcial: valores absolutos em coluna 2 são [ccc|c 4 & -3 & 1 & 3 0 & 2 & -4 & 0 0 & 0 & 3,25 & 1,25 ] e . O maior é 2 (linha 3). Então trocamos linha 2 com linha 3:
Agora usamos o pivô na linha 2 para zerar a coluna 2 na linha 3:
Nova linha 3 = (linha 3) – ,(linha 2)
=
=
= .
Agora a matriz está triangular superior:

Passo 4

Chegou a hora da substituição regressiva (back‐substitution). A matriz corresponde ao sistema:
4x - 3y + z = 3, 2y - 4z = 0, 3,25,z = 1,25
  1. Da terceira equação:
z = 1,253,25 = 125325 = 513 approx 0,3846
  1. Da segunda equação:
2y - 4z = 0 ;Longrightarrow; 2y = 4z = 4cdot513 = 2013 ;Longrightarrow; y = 2013cdot12 = 1013 approx 0,7692
  1. Da primeira equação:
4x - 3y + z = 3 ;Longrightarrow; 4x = 3 + 3y - z = 3 + 3cdot1013 - 513 = 3 + 30 - 513 = 3 + 2513 = 3913 + 2513 = 6413
Então
x = 6413cdot14 = 6452 = 1613 approx 1,2308

Resposta

boxedx = 1613, y = 1013, z = 513

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