As respostas dos exercícios abaixo deve ser justificadas. Respostas sem justificativas não serão aceitas. Escolha apenas 5 questões para resolver. Se mais questões forem resolvidas, apenas as resoluções das 5 primeiras serão consideradas.
Resolva o sistema linear abaixo pelo método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. Indique todos os passos do método que fizer.
Passo 1
Beleza, temos o seguinte sistema linear para resolver pelo método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:
Conteúdo: álgebra linear – resolução de sistemas via eliminação de Gauss.
O que vamos precisar:
Escrever a matriz aumentada do sistema.
Fazer trocas de linha (pivoteamento parcial) para evitar divisões por zeros e reduzir erro numérico.
Eliminar variáveis coluna a coluna até obter uma matriz triangular superior.
Fazer substituição regressiva (back‐substitution) para achar .
Teoria rápida: pivoteamento parcial significa, em cada coluna, escolher na submatriz atual a linha com maior valor absoluto naquela coluna e trocar com a linha do pivô para melhorar a estabilidade.
Coluna 1 (variável [ccc|c 4 & -3 & 1 & 3 0 & 1,75 & -0,25 & 1,25 0 & 2 & -4 & 0 ] ): os valores absolutos são , , . O maior é 4 na linha 2. Então trocamos linha 1 com linha 2:
Agora usamos o pivô para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
Nova linha 2 = (linha 2) – ,(linha 1)
A linha 3 já tem zero nessa coluna, então não mexemos.
Fazendo:
linha 2: .
A matriz fica:
Passo 3
Agora passamos à coluna 2 (variável [ccc|c 4 & -3 & 1 & 3 0 & 2 & -4 & 0 0 & 1,75 & -0,25 & 1,25 ] ). Olhamos as linhas 2 e 3 para pivoteamento parcial: valores absolutos em coluna 2 são [ccc|c 4 & -3 & 1 & 3 0 & 2 & -4 & 0 0 & 0 & 3,25 & 1,25 ] e . O maior é 2 (linha 3). Então trocamos linha 2 com linha 3:
Agora usamos o pivô na linha 2 para zerar a coluna 2 na linha 3:
Nova linha 3 = (linha 3) – ,(linha 2)
=
=
= .
Agora a matriz está triangular superior:
Passo 4
Chegou a hora da substituição regressiva (back‐substitution). A matriz corresponde ao sistema: