Um estudo em engenharia de transporte exige que você determine o número de carros que passa por uma interseção durante o horário de rush da manhã. Você fica em um lado da estrada e conta o número de carros que passa em 4 minutos, em diferentes instantes, conforme tabulado a seguir. Use o melhor método numérico para determinar (a) o número total de carros que passa entre 7:30 e 9:15 e (b) a taxa de carros passando pela interseção por minuto.
Horário (h) |
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Taxa (carros <br> em 4 min) | 18 | 23 | 14 | 24 | 20 | 9 |
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão pede: a gente tem uma tabela com o “número de carros que passam em cada bloco de 4 minutos” observado em instantes de tempo entre 7h30 e 9h15. A ideia é usar um método de integração numérica pra estimar (a) quantos carros passam no total nesse intervalo e (b) qual é a taxa média de carros por minuto.
Matéria envolvida: integração numérica (regra do trapézio generalizada), pois os intervalos entre as amostras não são todos iguais. A gente vai interpretar cada valor como uma taxa média em carros por minuto, converter e depois aplicar a regra do trapézio para somar “áreas” sob a curva.
Matéria envolvida: integração numérica (regra do trapézio generalizada), pois os intervalos entre as amostras não são todos iguais. A gente vai interpretar cada valor como uma taxa média em carros por minuto, converter e depois aplicar a regra do trapézio para somar “áreas” sob a curva.
Passo 2
Primeiro transformamos cada valor dado (que é “carros em 4 min”) em taxa em carros/minuto:
Se na amostra foram
carros em 4 min, a taxa média é
Se na amostra
Da tabela temos os tempos (em minutos após as 7h30) e os
:
Passo 3
Agora usamos a regra do trapézio geral (que funciona mesmo com intervalos diferentes):
Aqui cada
vem em minutos.
Passo 4
Calculemos cada termo:
Somando tudo:
Passo 5
Como não faz sentido contar um quarto de carro, arredondamos para 491 carros no total.
Pra achar a taxa média por minuto, dividimos pelo tempo total ( min):
Pra achar a taxa média por minuto, dividimos pelo tempo total (
Resposta
(a) Aproximadamente 491 carros passam entre 7h30 e 9h15.
(b) A taxa média é cerca de 4,68 carros por minuto.
(b) A taxa média é cerca de 4,68 carros por minuto.