A lei de Faraday caracteriza a queda de tensão através de um indutor como:
VL=L d id t
onde VL é a queda de tensão (V), L é a indutância (em henrys), i é a corrente (A) e t é o tempo ( s ). Determine a queda de tensão como uma função do tempo a partir dos dados seguintes para uma indutância de 4 H .
t 0 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7
i 0 0,16 0,32 0,56 0,84 2,0

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que, para um indutor, a queda de tensão é dada por
VL(t)=L,didt
aqui L=4,H e você tem uma tabela de i(t) em certos instantes. O objetivo é achar essa VL como função do tempo, usando esses pontos. Vamos precisar lembrar como aproximar a derivada di/dt quando só temos valores em pontos discretos – ou seja, usar diferenças finitas.

Passo 2

Teoria rápida de diferenças finitas: se você tem valores (tk,ik) e (tk+1,ik+1), uma boa aproximação da derivada em todo o intervalo [tk,tk+1] é
didtapproxik+1-iktk+1-tk,
Como a indutância L é constante, basta multiplicar essa razão por 4,H para achar VL naquele pedaço de tempo.

Passo 3

Vamos calcular intervalo a intervalo:
Intervalo 1: de t0=0 a t1=0,1,s
$$\frac{di}{dt}\approx\frac{0{,}16-0}{0{,}1-0}=1{,}6\ \mathrm{A/s},\quad
V_L=4\cdot1{,}6=6{,}4\ \mathrm V.$$
Intervalo 2: de didtapprox0,16-00,1-0=1,6 A/s, VL=4cdot1,6=6,4 V a t1=0,1s
$$\frac{di}{dt}\approx\frac{0{,}32-0{,}16}{0{,}2-0{,}1}=1{,}6\ \mathrm{A/s},\quad
V_L=6{,}4\ \mathrm V.$$
Intervalo 3: de t2=0,2, a didtapprox0,32-0,160,2-0,1=1,6 A/s, VL=6,4 Vs
$$\frac{di}{dt}\approx\frac{0{,}56-0{,}32}{0{,}3-0{,}2}=2{,}4\ \mathrm{A/s},\quad
V_L=4\cdot2{,}4=9{,}6\ \mathrm V.$$
Intervalo 4: de t2=0,2 a t3=0,3,s
$$\frac{di}{dt}\approx\frac{0{,}84-0{,}56}{0{,}5-0{,}3}=1{,}4\ \mathrm{A/s},\quad
V_L=4\cdot1{,}4=5{,}6\ \mathrm V.$$
Intervalo 5: de didtapprox0,56-0,320,3-0,2=2,4 A/s, VL=4cdot2,4=9,6 V a t3=0,3s
$$\frac{di}{dt}\approx\frac{2{,}0-0{,}84}{0{,}7-0{,}5}=5{,}8\ \mathrm{A/s},\quad
V_L=4\cdot5{,}8=23{,}2\ \mathrm V.$$

Passo 4

A gente então fica com uma função em degraus: para cada intervalo [tk,tk+1),
VL(t)=4,ik+1-iktk+1-tk
Numericamente:
  • de 0<= t<0,1,s: VL=6,4,V
  • de 0,1<= t<0,2,s: VL=6,4,V
  • de 0,2<= t<0,3,s: VL=9,6,V
  • de 0,3<= t<0,5,s: VL=5,6,V
  • de 0,5<= t<=0,7,s: VL=23,2,V

Resposta

V_L(t) é uma função em degraus com os valores acima, obtida por
VL(t)=4;ik+1-iktk+1-tk para tk<= t
Numericamente: 6,4 V, 6,4 V, 9,6 V, 5,6 V e 23,2 V nos respectivos intervalos.

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