um exemplo de uma integral que não pode ser resolvida utilizando os métodos analiticos do cálculo, escolhendo os limites de integração e calculando uma aproximação para seu valor utilizando um dos métodos apresentados na unidade (Somas de Riemann ou Método de Simpson).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar um exemplo de uma integral que a gente não consegue resolver usando os métodos analíticos do cálculo. Depois, vamos escolher os limites de integração e calcular uma aproximação para o valor dessa integral usando um dos métodos que aprendemos: Somas de Riemann ou o Método de Simpson. Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como funcionam esses métodos de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma função cuja integral não pode ser resolvida facilmente com métodos analíticos. Um bom exemplo é a função $ e{-x2} $. Sabemos que a integral dessa função não tem uma antiderivada que possa ser expressa em termos de funções elementares.
Passo 3
Vamos definir os limites de integração. Para simplificar, vamos calcular a integral de $ 0 $ a $ 1 $:
Passo 4
Como não conseguimos resolver essa integral analiticamente, vamos usar o Método de Simpson para aproximar seu valor. O Método de Simpson é uma técnica de integração numérica que usa parábolas para aproximar a área sob a curva.
Passo 5
Para aplicar o Método de Simpson, precisamos dividir o intervalo
em um número par de subintervalos. Vamos escolher $ n = 4 $ subintervalos. Então, o tamanho de cada subintervalo $ h $ será:
Passo 6
Agora, calculamos os pontos $ x_i $:
Passo 7
Calculamos os valores da função $ f(x) = e{-x2} $ nesses pontos:
Passo 8
Aplicamos a fórmula do Método de Simpson:
Substituindo os valores:
Passo 9
Calculando dentro dos colchetes:
Passo 10
Agora, multiplicamos por $ \frac{h}{3} $:
Resposta
A aproximação da integral $ \int_{0}^{1} e{-x2} , dx $ usando o Método de Simpson com 4 subintervalos é aproximadamente 0,7470.