um exemplo de uma integral que não pode ser resolvida utilizando os métodos analiticos do cálculo, escolhendo os limites de integração e calculando uma aproximação para seu valor utilizando um dos métodos apresentados na unidade (Somas de Riemann ou Método de Simpson).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos encontrar um exemplo de uma integral que a gente não consegue resolver usando os métodos analíticos do cálculo. Depois, vamos escolher os limites de integração e calcular uma aproximação para o valor dessa integral usando um dos métodos que aprendemos: Somas de Riemann ou o Método de Simpson. Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como funcionam esses métodos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma função cuja integral não pode ser resolvida facilmente com métodos analíticos. Um bom exemplo é a função $ e{-x2} $. Sabemos que a integral dessa função não tem uma antiderivada que possa ser expressa em termos de funções elementares.

Passo 3

Vamos definir os limites de integração. Para simplificar, vamos calcular a integral de $ 0 $ a $ 1 $:
0

Passo 4

Como não conseguimos resolver essa integral analiticamente, vamos usar o Método de Simpson para aproximar seu valor. O Método de Simpson é uma técnica de integração numérica que usa parábolas para aproximar a área sob a curva.

Passo 5

Para aplicar o Método de Simpson, precisamos dividir o intervalo [0, 1] em um número par de subintervalos. Vamos escolher $ n = 4 $ subintervalos. Então, o tamanho de cada subintervalo $ h $ será:
n = 4

Passo 6

Agora, calculamos os pontos $ x_i $:
xi

Passo 7

Calculamos os valores da função $ f(x) = e{-x2} $ nesses pontos:
f(x) = e^-x^2
f(x0) = e^-0^2 = 1
f(x1) = e^-0,25^2 = e^-0,0625 approx 0,9394
f(x2) = e^-0,5^2 = e^-0,25 approx 0,7788
f(x3) = e^-0,75^2 = e^-0,5625 approx 0,5705

Passo 8

Aplicamos a fórmula do Método de Simpson:
integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores:
approx 0,253 [ 1 + 4 times 0,9394 + 2 times 0,7788 + 4 times 0,5705 + 0,3679 ]

Passo 9

Calculando dentro dos colchetes:
1 + 3,7576 + 1,5576 + 2,282 + 0,3679 = 8,9641

Passo 10

Agora, multiplicamos por $ \frac{h}{3} $:
h3

Resposta

A aproximação da integral $ \int_{0}^{1} e{-x2} , dx $ usando o Método de Simpson com 4 subintervalos é aproximadamente 0,7470.

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