O número de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após
horas é dado na tabela abaixo:
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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32 | 47 | 65 | 92 | 132 | 190 | 275 |
Quantas horas seriam necessárias para que o volume de bactérias ultrapasse o valor de 500.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tabela que mostra o número de bactérias por unidade de volume em diferentes horas. Nosso objetivo é descobrir quantas horas são necessárias para que o número de bactérias ultrapasse 500. Para isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial, que é comum em populações de bactérias.
Passo 2
Observando a tabela, vemos que o número de bactérias aumenta a cada hora. Isso sugere que o crescimento é exponencial, ou seja, cada bactéria gera mais bactérias em um determinado intervalo de tempo. A fórmula geral para o crescimento exponencial é:
Onde:
- $ n $ é o número de bactérias após $ t $ horas,
- $ n_0 $ é o número inicial de bactérias,
- $ k $ é a taxa de crescimento,
- $ e $ é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Vamos usar dois pontos da tabela para encontrar a taxa de crescimento $ k $. Vamos usar o tempo inicial $ t = 0 $ horas com $ n_0 = 32 $ bactérias e o tempo $ t = 6 $ horas com $ n = 275 $ bactérias.
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Para resolver essa equação para $ k $, primeiro dividimos ambos os lados por 32:
Passo 5
Agora, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para eliminar o $ e $:
Calculando o logaritmo:
Passo 6
Isolamos $ k $ dividindo ambos os lados por 6:
Passo 7
Com o valor de $ k $, podemos agora usar a fórmula do crescimento exponencial para encontrar o tempo necessário para que o número de bactérias ultrapasse 500:
Passo 8
Primeiro, dividimos ambos os lados por 32:
Passo 9
Aplicamos o logaritmo natural novamente:
Calculando o logaritmo:
Passo 10
Finalmente, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por 0.359:
Resposta
Seriam necessárias aproximadamente 7,66 horas para que o volume de bactérias ultrapasse o valor de 500.