O número de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após x horas é dado na tabela abaixo:
x (horas) 0 1 2 3 4 5 6
n^circ de bactérias 32 47 65 92 132 190 275
Quantas horas seriam necessárias para que o volume de bactérias ultrapasse o valor de 500.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tabela que mostra o número de bactérias por unidade de volume em diferentes horas. Nosso objetivo é descobrir quantas horas são necessárias para que o número de bactérias ultrapasse 500. Para isso, vamos usar conceitos de crescimento exponencial, que é comum em populações de bactérias.

Passo 2

Observando a tabela, vemos que o número de bactérias aumenta a cada hora. Isso sugere que o crescimento é exponencial, ou seja, cada bactéria gera mais bactérias em um determinado intervalo de tempo. A fórmula geral para o crescimento exponencial é:
n = n0 cdot e^kt
Onde:
  • $ n $ é o número de bactérias após $ t $ horas,
  • $ n_0 $ é o número inicial de bactérias,
  • $ k $ é a taxa de crescimento,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Vamos usar dois pontos da tabela para encontrar a taxa de crescimento $ k $. Vamos usar o tempo inicial $ t = 0 $ horas com $ n_0 = 32 $ bactérias e o tempo $ t = 6 $ horas com $ n = 275 $ bactérias.
Substituindo na fórmula:
k

Passo 4

Para resolver essa equação para $ k $, primeiro dividimos ambos os lados por 32:
k
27532 = e^6k

Passo 5

Agora, aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados para eliminar o $ e $:
e
Calculando o logaritmo:
ln(8.59375) = 6k

Passo 6

Isolamos $ k $ dividindo ambos os lados por 6:
k
k = 2.1536

Passo 7

Com o valor de $ k $, podemos agora usar a fórmula do crescimento exponencial para encontrar o tempo necessário para que o número de bactérias ultrapasse 500:
k

Passo 8

Primeiro, dividimos ambos os lados por 32:
50032 = e^0.359t
15.625 = e^0.359t

Passo 9

Aplicamos o logaritmo natural novamente:
ln(15.625) = 0.359t
Calculando o logaritmo:
2.75 = 0.359t

Passo 10

Finalmente, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por 0.359:
t
t = 2.750.359

Resposta

Seriam necessárias aproximadamente 7,66 horas para que o volume de bactérias ultrapasse o valor de 500.

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