Seja a função
dada da seguinte forma;
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1 | 1,01 | 1,02 | 1,03 | 1,04 | 1,05 |
---|---|---|---|---|---|---|
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1 | 1,005 | 1,01 | 1,0149 | 1,0198 | 1,0247 |
Calcule o valor de
usando um polinômio de grau adequado por meio da fórmula de Newton, e calcule o erro cometido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor de
usando um polinômio de grau adequado pela fórmula de Newton. Para isso, vamos trabalhar com interpolação polinomial, que é um método para aproximar valores de funções usando um polinômio que passa por alguns pontos conhecidos. Aqui, temos a função
e uma tabela de valores que nos dá
para alguns
próximos de 1. Vamos usar esses dados para criar nosso polinômio e estimar
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais pontos da tabela são mais próximos de
. Olhando para a tabela:
|
1 | 1,01 | 1,02 | 1,03 | 1,04 | 1,05 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
1 | 1,005 | 1,01 | 1,0149 | 1,0198 | 1,0247 |
Vemos que
está entre
e
. Para uma boa aproximação, vamos usar esses dois pontos e talvez um mais próximo para tornar nosso polinômio mais preciso. Vamos escolher os pontos
,
,
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula de Newton para construir o polinômio de interpolação. A fórmula de Newton usa diferenças divididas para encontrar os coeficientes do polinômio. Para simplificar, vamos optar por um polinômio de segundo grau (quadrático), que geralmente oferece um bom equilíbrio entre precisão e simplicidade.
O polinômio de Newton de segundo grau tem a forma:
Onde:
-
, , são os pontos escolhidos. -
é a diferença dividida de primeira ordem. -
é a diferença dividida de segunda ordem.
Vamos escolher os pontos
,
e
para construir nosso polinômio.
Primeiro, calculamos as diferenças divididas:
-
Diferenças de primeira ordem:
-
Diferença de segunda ordem:
Então, nosso polinômio fica:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos usar esse polinômio para estimar
. Substituímos
por
:
Então, a aproximação de
pelo nosso polinômio é
.
Passo 5
Por fim, vamos calcular o erro cometido nessa aproximação. O erro é a diferença entre o valor real de
e o valor aproximado que encontramos.
Primeiro, calculamos o valor real:
Agora, calculamos o erro:
Resposta
Usando o polinômio de Newton, a aproximação de
é
e o erro cometido foi de
.