Seja a função f(x)=raizx dada da seguinte forma;
x 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05
f(x) 1 1,005 1,01 1,0149 1,0198 1,0247
Calcule o valor de raiz1,035 usando um polinômio de grau adequado por meio da fórmula de Newton, e calcule o erro cometido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor de raiz1,035 usando um polinômio de grau adequado pela fórmula de Newton. Para isso, vamos trabalhar com interpolação polinomial, que é um método para aproximar valores de funções usando um polinômio que passa por alguns pontos conhecidos. Aqui, temos a função f(x) = raizx e uma tabela de valores que nos dá f(x) para alguns x próximos de 1. Vamos usar esses dados para criar nosso polinômio e estimar raiz1,035.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais pontos da tabela são mais próximos de x = 1,035. Olhando para a tabela:
x 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05
f(x) 1 1,005 1,01 1,0149 1,0198 1,0247
Vemos que 1,035 está entre 1,03 e 1,04. Para uma boa aproximação, vamos usar esses dois pontos e talvez um mais próximo para tornar nosso polinômio mais preciso. Vamos escolher os pontos (1, 1), (1,01, 1,005), (1,02, 1,01), (1,03, 1,0149), (1,04, 1,0198) e (1,05, 1,0247).

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula de Newton para construir o polinômio de interpolação. A fórmula de Newton usa diferenças divididas para encontrar os coeficientes do polinômio. Para simplificar, vamos optar por um polinômio de segundo grau (quadrático), que geralmente oferece um bom equilíbrio entre precisão e simplicidade.
O polinômio de Newton de segundo grau tem a forma:
P(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1)
Onde:
  • x0, x1, x2 são os pontos escolhidos.
  • f[x0, x1] é a diferença dividida de primeira ordem.
  • f[x0, x1, x2] é a diferença dividida de segunda ordem.
Vamos escolher os pontos x0 = 1.03, x1 = 1.04 e x2 = 1.05 para construir nosso polinômio.
Primeiro, calculamos as diferenças divididas:
  1. Diferenças de primeira ordem:
    f[x0, x1] = f(x1) - f(x0)x1 - x0 = 1,0198 - 1,01491,04 - 1,03 = 0,00490,01 = 0,49
    f[x1, x2] = f(x2) - f(x1)x2 - x1 = 1,0247 - 1,01981,05 - 1,04 = 0,00490,01 = 0,49
  2. Diferença de segunda ordem:
    f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] - f[x0, x1]x2 - x0 = 0,49 - 0,491,05 - 1,03 = 00,02 = 0
Então, nosso polinômio fica:
P(x) = f(1,03) + f[1,03, 1,04](x - 1,03) + f[1,03, 1,04, 1,05](x - 1,03)(x - 1,04)
Substituindo os valores:
P(x) = 1,0149 + 0,49(x - 1,03) + 0(x - 1,03)(x - 1,04)
Simplificando:
P(x) = 1,0149 + 0,49(x - 1,03)

Passo 4

Agora, vamos usar esse polinômio para estimar raiz1,035. Substituímos x por 1,035:
P(1,035) = 1,0149 + 0,49(1,035 - 1,03) = 1,0149 + 0,49(0,005) = 1,0149 + 0,00245 = 1,01735
Então, a aproximação de raiz1,035 pelo nosso polinômio é 1,01735.

Passo 5

Por fim, vamos calcular o erro cometido nessa aproximação. O erro é a diferença entre o valor real de raiz1,035 e o valor aproximado que encontramos.
Primeiro, calculamos o valor real:
raiz1,035 approx 1,0174
Agora, calculamos o erro:
Erro = |Valor real - Valor aproximado| = |1,0174 - 1,01735| = 0,00005

Resposta

Usando o polinômio de Newton, a aproximação de raiz1,035 é 1,01735 e o erro cometido foi de 0,00005.

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