Questão 4. Determine todos os valores de a \in \mathbb{R} para os quais a matriz:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & a & a \\\ a & 1 & a \\\ a & a & 1 \end{array}\right]
é definida positiva.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & a & a\\\ a & 1 & a\\\ a & a & 1 \end{pmatrix}
e pede os valores de a\in\mathbb{R} tais que \mathbf{A} seja definida positiva. Vamos usar o critério de Sylvester, que diz que uma matriz simétrica é definida positiva se, e somente se, todos os seus menores principais forem estritamente positivos.

Passo 2

O menor principal de ordem 1 é
D_1 = 1 > 0.
O menor principal de ordem 2 (topo esquerdo) é
D_2 = \det\begin{pmatrix}1 & a\\\ a & 1\end{pmatrix} = 1 - a^2 > 0 \quad\Longrightarrow\quad |a| < 1.

Passo 3

O menor principal de ordem 3 é \det \mathbf{A}. Calculamos
\det \mathbf{A} = (1-a)^2(1+2a).
Para que isso seja positivo precisamos de
(1-a)^2 > 0\quad\text{e}\quad 1 + 2a > 0.
Como (1-a)^2>0 sempre que a\neq1, e já temos de D_2>0 que |a|<1, resta apenas
1+2a>0 \quad\Longrightarrow\quad a>-\tfrac12.

Passo 4

Juntando |a|<1 com a>-\tfrac12 obtemos
-\tfrac12 < a < 1.
Nessa faixa todos os menores principais são positivos, logo \mathbf{A} é definida positiva.

Resposta

-\tfrac12 < a < 1.

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