Exercício 10 - Convergência prática

Obtenha a raiz aproximada de f(x)=x^{3}-9 x+3 no intervalo [0,1], usando o Método da Posição Falsa com \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=2 \times 10^{-3}.
(a) Execute as iterações e organize os resultados na tabela:
k a_{k} b_{k} x_{k} f\left(x_{k}\right) \left|b_{k}-a_{k}\right| Novo intervalo

Passo 1

O enunciado pede: obter a raiz aproximada de f(x)=x^{3}-9x+3 no intervalo [0,1] pelo Método da Posição Falsa (Regula Falsi), usando as tolerâncias \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=2\times10^{-3}.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=x^{3}-9x+3.
  • Intervalo inicial: a_{1}=0, b_{1}=1.
  • Tolerâncias: \varepsilon_{1}=2\times10^{-3} e \varepsilon_{2}=2\times10^{-3}.
    O que preciso entregar: executar iterações do método, organizando os resultados na tabela com colunas k,\\ a_k,\\ b_k,\\ x_k,\\ f(x_k),\\ |b_k-a_k|, e o novo intervalo, até o critério de parada.

Passo 2

Explicando o Método da Posição Falsa (Regula Falsi) — passo a passo fácil e intuitivo:
  • A ideia: aproximar a curva por uma reta que passa pelos pontos \big(a_k,f(a_k)\big) e \big(b_k,f(b_k)\big) e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como a próxima aproximação x_k. Isso é a interpolação linear entre os extremos do intervalo.
  • Fórmula (obtida por interpolação linear): x_k=\frac{a_k\,f(b_k)-b_k\,f(a_k)}{f(b_k)-f(a_k)}.Aqui a_k e b_k são os extremos do intervalo na iteração k, e f(a_k),f(b_k) são os valores da função nesses extremos.
  • Atualização do intervalo: calcular f(x_k). Se f(a_k)\cdot f(x_k)<0 então a raiz está em [a_k,x_k] então escolhe-se a_{k+1}=a_k,\\ b_{k+1}=x_k. Caso contrário (ou seja, se f(x_k)\cdot f(b_k)<0) escolhe-se a_{k+1}=x_k,\\ b_{k+1}=b_k.
  • Critério de parada (escolha padrão e prática): parar quando pelo menos uma das condições for satisfeita: |f(x_k)|\le \varepsilon_{1}\quad\text{ou}\quad |b_k-a_k|\le \varepsilon_{2}.Usei esse critério “OU” porque é o mais comum: se o valor da função na aproximação já está pequeno o suficiente, consideramos que temos uma raíz prática; alternativamente, se o intervalo ficou suficientemente pequeno, também aceitamos a aproximação.
  • Vou realizar as iterações mostrando os cálculos numéricos (arredondando os resultados exibidos em cada x_k e f(x_k) a 6 casas decimais quando necessário, suficiente para as tolerâncias dadas).

Passo 3

Iteração k=1.
  • Dados iniciais: a_{1}=0,\\ b_{1}=1.
  • Calcular f nos extremos: f(0)=0^{3}-9\cdot0+3=3, \qquad f(1)=1^{3}-9\cdot1+3=1-9+3=-5.
  • Aplicar a fórmula da Posição Falsa: x_{1}=\frac{0\cdot f(1)-1\cdot f(0)}{f(1)-f(0)}=\frac{-3}{-5-3}=\frac{-3}{-8}=0{,}375.
  • Calcular f(x_{1}): f(0{,}375)=(0{,}375)^{3}-9(0{,}375)+3=0{,}052734375-3{,}375+3=-0{,}322265625.
  • Largura do intervalo: |b_{1}-a_{1}|=1.
  • Atualização: f(a_{1})\cdot f(x_{1})=3\cdot(-0{,}322265625)<0, logo a raiz está em [0,0{,}375]. Novo intervalo: a_{2}=0,\\ b_{2}=0{,}375.

Passo 4

Iteração k=2.
  • Dados: a_{2}=0,\\ b_{2}=0{,}375, com f(a_{2})=3 e f(b_{2})=-0{,}322265625.
  • Calcular x_{2} pela fórmula: x_{2}=\frac{0\cdot f(b_{2})-0{,}375\cdot f(a_{2})}{f(b_{2})-f(a_{2})} =\frac{-1{,}125}{-0{,}322265625-3} =\frac{1{,}125}{3{,}322265625}\approx 0{,}338625.(arredondei para seis casas: x_{2}\approx0{,}338625.)
  • Calcular f(x_{2}) (aproximação): f(0{,}338625)\approx(0{,}338625)^{3}-9(0{,}338625)+3\approx -0{,}007588.(valor negativo e com magnitude maior que \varepsilon_{1}=0{,}002.)
  • Largura do intervalo atual: |b_{2}-a_{2}|=0{,}375.
  • Atualização: f(a_{2})\cdot f(x_{2})=3\cdot(-0{,}007588)<0, portanto o novo intervalo é [0,0{,}338625]. Ou seja a_{3}=0,\\ b_{3}=0{,}338625.

Passo 5

Iteração k=3.
  • Dados: a_{3}=0,\\ b_{3}=0{,}338625, com f(a_{3})=3 e f(b_{3})\approx -0{,}007588.
  • Calcular x_{3}: x_{3}=\frac{0\cdot f(b_{3})-0{,}338625\cdot 3}{f(b_{3})-3} =\frac{-1{,}015875}{-3{,}007588}\approx 0{,}337605.(arredondei para seis casas: x_{3}\approx0{,}337605.)
  • Calcular f(x_{3}) (aproximação): f(0{,}337605)\approx(0{,}337605)^{3}-9(0{,}337605)+3\approx 0{,}000026.Observe que |f(x_{3})|\approx 2{,}6\times10^{-5}<\varepsilon_{1}=2\times10^{-3}.
  • Largura do intervalo anterior |b_{3}-a_{3}|=0{,}338625 (ainda maior que \varepsilon_{2}), mas o critério |f(x_{3})|\le\varepsilon_{1} já é satisfeito.
  • Portanto paramos aqui, aceitando x_{3} como aproximação da raiz.

Passo 6

Tabela resumida das iterações (valores arredondados para apresentação; todos os cálculos intermediários usados nas iterações foram mostrados acima):
\begin{array}{lllllll} \hline k & a_{k} & b_{k} & x_{k} & f(x_{k}) & |b_{k}-a_{k}| & \text{Novo intervalo} \\\ \hline 1 & 0 & 1 & 0{,}375000 & -0{,}322265625 & 1{,}000000 & [0,\;0{,}375000] \\\\ 2 & 0 & 0{,}375000 & 0{,}338625 & -0{,}007588 & 0{,}375000 & [0,\;0{,}338625] \\\\ 3 & 0 & 0{,}338625 & 0{,}337605 & 0{,}000026 & 0{,}338625 & \text{(parou: }|f(x_{3})|<\varepsilon_{1}\text{)} \\\ \hline \end{array}

Resposta

x\approx0{,}337605

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