Exercício 10 - Convergência prática
Obtenha a raiz aproximada de
no intervalo
, usando o Método da Posição Falsa com
.
(a) Execute as iterações e organize os resultados na tabela:
Novo intervalo
(a) Execute as iterações e organize os resultados na tabela:
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Novo intervalo |
Passo 1
O enunciado pede: obter a raiz aproximada de
no intervalo
pelo Método da Posição Falsa (Regula Falsi), usando as tolerâncias
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo inicial:
, . - Tolerâncias:
e .
O que preciso entregar: executar iterações do método, organizando os resultados na tabela com colunase o novo intervalo, até o critério de parada.
Passo 2
Explicando o Método da Posição Falsa (Regula Falsi) — passo a passo fácil e intuitivo:
- A ideia: aproximar a curva por uma reta que passa pelos pontos
e e tomar a interseção dessa reta com o eixo como a próxima aproximação . Isso é a interpolação linear entre os extremos do intervalo. - Fórmula (obtida por interpolação linear):
Aqui e são os extremos do intervalo na iteração , e são os valores da função nesses extremos. - Atualização do intervalo: calcular
. Se então a raiz está em então escolhe-se . Caso contrário (ou seja, se ) escolhe-se . - Critério de parada (escolha padrão e prática): parar quando pelo menos uma das condições for satisfeita:
Usei esse critério “OU” porque é o mais comum: se o valor da função na aproximação já está pequeno o suficiente, consideramos que temos uma raíz prática; alternativamente, se o intervalo ficou suficientemente pequeno, também aceitamos a aproximação. - Vou realizar as iterações mostrando os cálculos numéricos (arredondando os resultados exibidos em cada
e a 6 casas decimais quando necessário, suficiente para as tolerâncias dadas).
Passo 3
Iteração
.
- Dados iniciais:
. - Calcular
nos extremos: - Aplicar a fórmula da Posição Falsa:
- Calcular
: - Largura do intervalo:
. - Atualização:
, logo a raiz está em . Novo intervalo: .
Passo 4
Iteração
.
- Dados:
, com e . - Calcular
pela fórmula: (arredondei para seis casas: .) - Calcular
(aproximação): (valor negativo e com magnitude maior que .) - Largura do intervalo atual:
. - Atualização:
, portanto o novo intervalo é . Ou seja .
Passo 5
Iteração
.
- Dados:
, com e . - Calcular
: (arredondei para seis casas: .) - Calcular
(aproximação): Observe que . - Largura do intervalo anterior
(ainda maior que ), mas o critério já é satisfeito. - Portanto paramos aqui, aceitando
como aproximação da raiz.
Passo 6
Tabela resumida das iterações (valores arredondados para apresentação; todos os cálculos intermediários usados nas iterações foram mostrados acima):