Exercício 13 - Ponto fixo - existência e unicidade
Para cada função
, determine: (i) se existe ponto fixo em
(use o Teorema de Brouwer); (ii) se o ponto fixo é único (use o Teorema da Contração); (iii) se a iteração
converge.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo
. Pede três coisas:
- (i) Determinar se existe ponto fixo em
(usar o Teorema de Brouwer). - (ii) Determinar se o ponto fixo é único (usar o Teorema da Contração).
- (iii) Verificar se a iteração
converge (para quais pontos iniciais e para qual limite).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
e o intervalo fechado
.
Passo 2
Aplicar o Teorema de Brouwer na forma unidimensional: o teorema diz que se uma função é contínua e mapeia um intervalo fechado
em si mesma, então existe pelo menos um ponto fixo em
.
Primeiro verifiquemos continuidade e que .
Primeiro verifiquemos continuidade e que
- A função
é polinomial composta com operações contínuas, logo é contínua em . - Calculemos os extremos de
no intervalo observando e . - Como
em varia entre e , temos .
Portanto
é contínua e mapeia
em si mesma, logo pelo Teorema de Brouwer existe pelo menos um ponto fixo em
.
Passo 3
Encontrar explicitamente os pontos fixos resolvendo
. Isso facilita responder (i) e (ii).
- Escrever a equação dos pontos fixos:
- Multiplicando por
:
- Passando tudo para um lado:
- Fatorando:
- Logo os pontos fixos são
e . Ambos pertencem a .
Isso confirma a existência (pelo menos um): na verdade existem dois pontos fixos no intervalo.
Passo 4
Agora tratar a unicidade usando o Teorema da Contração. Vou enunciar a versão que usaremos: se
é Lipschitz em
com constante
(por exemplo se
é diferenciável e
), então existe exatamente um ponto fixo em
e a iteração converge para esse ponto fixo a partir de qualquer
.
- Calculemos a derivada de
:
- No intervalo
temos
Portanto não se satisfez a condição
; isto é,
não é uma contração global em
. Além disso, já encontramos dois pontos fixos distintos
e
, o que mostra explicitamente que o ponto fixo não é único. Assim o Teorema da Contração não garante unicidade (e, de fato, unicidade é falsa).
Passo 5
Analisar estabilidade local dos pontos fixos (isso ajuda a responder sobre a convergência da iteração). Para um ponto fixo
, a regra heurística (linearização) diz:
- se
então é atraente (localmente assimptoticamente estável); - se
então é repulsor (instável); - se
necessita análise mais profunda.
Calculemos
nos pontos fixos:
Logo
(o ponto
é atraente) e
(o ponto
é repulsor).
Passo 6
Agora analise globalmente a dinâmica da iteração em
. Uma ferramenta simples e robusta é estudar o sinal de
Observe o sinal de
em subintervalos de
:
- Para
: temos e , portanto e assim . Logo para vale . - Para
: . - Para
: e , então e . Logo para vale . - Para
: .
Além disso já vimos que
é crescente em
porque
. Em particular,
e
. Então os intervalos
e
são invariantes para
.
Passo 7
Usar as observações de monotonia e de
para concluir sobre convergência:
-
Se
então e também . Por indução, a sequência é crescente e fica sempre confinada em , logo é limitada superiormente por . Uma sequência monótona crescente e limitada converge; seu limite satisfaz , portanto é ponto fixo. O único ponto fixo em é . Conclusão: para qualquer tem-se . -
Se
então e . Por indução, a sequência é decrescente e fica sempre em , logo é limitada inferiormente por . Uma sequência monótona decrescente e limitada converge; seu limite satisfaz e, novamente, o único ponto fixo nessa faixa é . Conclusão: para qualquer tem-se . -
Se
então a sequência permanece em (já está no ponto fixo). -
Se
então , a sequência permanece em (ponto fixo repulsor, mas fixo).
Portanto a iteração converge para
para qualquer
e converge para
somente se
.
Passo 8
Resumo final e interpretação ligada às teoremas pedidas:
- Pelo Teorema de Brouwer (aplicado a essa função contínua que mapeia
em si), existe ponto fixo — e resolvendo explicitamente achamos dois: e . - O Teorema da Contração não se aplica globalmente porque
; de fato a unicidade é falsa (há dois pontos fixos). - A iteração converge para o ponto atrativo
para todo ; apenas a condição inicial leva à convergência (trivial) para . Assim, exceto pela base degenerada , todas as iterações convergem para .
Resposta
(i) Sim; existem pontos fixos em
:
e
.
(ii) Não; o ponto fixo não é único (há dois pontos fixos), e não é contração global em
pois
.
(iii) A iteração converge para para qualquer
; para
a sequência fica em
.
(ii) Não; o ponto fixo não é único (há dois pontos fixos), e
(iii) A iteração converge para