Exercício 13 - Ponto fixo - existência e unicidade
Para cada função g, determine: (i) se existe ponto fixo em a, b (use o Teorema de Brouwer); (ii) se o ponto fixo é único (use o Teorema da Contração); (iii) se a iteração x_{k+1}=g\left(x_{k}\right) converge.
g(x)=\frac{x^{2}+2}{3}, \quad[0,2]

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle g(x)=\frac{x^{2}+2}{3} e o intervalo \displaystyle[0,2]. Pede três coisas:
  1. (i) Determinar se existe ponto fixo em [0,2] (usar o Teorema de Brouwer).
  2. (ii) Determinar se o ponto fixo é único (usar o Teorema da Contração).
  3. (iii) Verificar se a iteração \displaystyle x_{k+1}=g(x_k) converge (para quais pontos iniciais e para qual limite).
Informações relevantes fornecidas: a expressão de g e o intervalo fechado [0,2].

Passo 2

Aplicar o Teorema de Brouwer na forma unidimensional: o teorema diz que se uma função é contínua e mapeia um intervalo fechado [a,b] em si mesma, então existe pelo menos um ponto fixo em [a,b].
Primeiro verifiquemos continuidade e que g([0,2])\subseteq[0,2].
  • A função g é polinomial composta com operações contínuas, logo é contínua em [0,2].
  • Calculemos os extremos de g no intervalo observando \displaystyle g(0)=\frac{0^{2}+2}{3}=\frac{2}{3} e \displaystyle g(2)=\frac{2^{2}+2}{3}=\frac{6}{3}=2.
  • Como x^{2} em [0,2] varia entre 0 e 4, temos \displaystyle g(x)=\frac{x^{2}+2}{3}\in\left[\frac{2}{3},2\right]\subset[0,2].
Portanto g é contínua e mapeia [0,2] em si mesma, logo pelo Teorema de Brouwer existe pelo menos um ponto fixo em [0,2].

Passo 3

Encontrar explicitamente os pontos fixos resolvendo \displaystyle x=g(x). Isso facilita responder (i) e (ii).
  • Escrever a equação dos pontos fixos:
x=\frac{x^{2}+2}{3}.
  • Multiplicando por 3:
3x=x^{2}+2.
  • Passando tudo para um lado:
x^{2}-3x+2=0.
  • Fatorando:
(x-1)(x-2)=0.
  • Logo os pontos fixos são \displaystyle x=1 e \displaystyle x=2. Ambos pertencem a [0,2].
Isso confirma a existência (pelo menos um): na verdade existem dois pontos fixos no intervalo.

Passo 4

Agora tratar a unicidade usando o Teorema da Contração. Vou enunciar a versão que usaremos: se g é Lipschitz em [a,b] com constante L<1 (por exemplo se g é diferenciável e \sup_{[a,b]}|g'(x)|\le L<1), então existe exatamente um ponto fixo em [a,b] e a iteração converge para esse ponto fixo a partir de qualquer x_0\in[a,b].
  • Calculemos a derivada de g:
g'(x)=\frac{2x}{3}.
  • No intervalo [0,2] temos
\sup_{x\in[0,2]}|g'(x)|=|g'(2)|=\frac{4}{3}>1.
Portanto não se satisfez a condição \sup|g'|<1; isto é, g não é uma contração global em [0,2]. Além disso, já encontramos dois pontos fixos distintos \,1 e 2, o que mostra explicitamente que o ponto fixo não é único. Assim o Teorema da Contração não garante unicidade (e, de fato, unicidade é falsa).

Passo 5

Analisar estabilidade local dos pontos fixos (isso ajuda a responder sobre a convergência da iteração). Para um ponto fixo r, a regra heurística (linearização) diz:
  • se |g'(r)|<1 então r é atraente (localmente assimptoticamente estável);
  • se |g'(r)|>1 então r é repulsor (instável);
  • se |g'(r)|=1 necessita análise mais profunda.
Calculemos g' nos pontos fixos:
g'(1)=\frac{2\cdot1}{3}=\frac{2}{3},\qquad g'(2)=\frac{2\cdot2}{3}=\frac{4}{3}.
Logo |g'(1)|=\tfrac{2}{3}<1 (o ponto 1 é atraente) e |g'(2)|=\tfrac{4}{3}>1 (o ponto 2 é repulsor).

Passo 6

Agora analise globalmente a dinâmica da iteração em [0,2]. Uma ferramenta simples e robusta é estudar o sinal de
h(x):=g(x)-x=\frac{x^{2}+2}{3}-x=\frac{(x-1)(x-2)}{3}.
Observe o sinal de h(x) em subintervalos de [0,2]:
  • Para x<1: temos (x-1)<0 e (x-2)<0, portanto (x-1)(x-2)>0 e assim h(x)>0. Logo para x\in[0,1) vale g(x)>x.
  • Para x=1: h(1)=0.
  • Para 1<x<2: (x-1)>0 e (x-2)<0, então (x-1)(x-2)<0 e h(x)<0. Logo para x\in(1,2) vale g(x)<x.
  • Para x=2: h(2)=0.
Além disso já vimos que g é crescente em [0,2] porque g'(x)=\tfrac{2x}{3}\ge0. Em particular, g([0,1])\subset[\,g(0),g(1)\,]=[\tfrac{2}{3},1]\subset[0,1] e g([1,2])\subset[1,2]. Então os intervalos [0,1] e [1,2] são invariantes para g.

Passo 7

Usar as observações de monotonia e de h(x) para concluir sobre convergência:
  • Se x_0\in[0,1) então x_1=g(x_0)>x_0 e também x_1<g(1)=1. Por indução, a sequência \{x_k\} é crescente e fica sempre confinada em [x_0,1), logo é limitada superiormente por 1. Uma sequência monótona crescente e limitada converge; seu limite L satisfaz L=g(L), portanto L é ponto fixo. O único ponto fixo em [0,1] é 1. Conclusão: para qualquer x_0\in[0,1) tem-se \displaystyle x_k\to 1.
  • Se x_0\in(1,2) então x_1=g(x_0)<x_0 e x_1>g(1)=1. Por indução, a sequência \{x_k\} é decrescente e fica sempre em (1,x_0], logo é limitada inferiormente por 1. Uma sequência monótona decrescente e limitada converge; seu limite L satisfaz L=g(L) e, novamente, o único ponto fixo nessa faixa é 1. Conclusão: para qualquer x_0\in(1,2) tem-se \displaystyle x_k\to 1.
  • Se x_0=1 então a sequência permanece em 1 (já está no ponto fixo).
  • Se x_0=2 então x_1=g(2)=2, a sequência permanece em 2 (ponto fixo repulsor, mas fixo).
Portanto a iteração converge para 1 para qualquer x_0\in[0,2) e converge para 2 somente se x_0=2.

Passo 8

Resumo final e interpretação ligada às teoremas pedidas:
  • Pelo Teorema de Brouwer (aplicado a essa função contínua que mapeia [0,2] em si), existe ponto fixo — e resolvendo explicitamente achamos dois: 1 e 2.
  • O Teorema da Contração não se aplica globalmente porque \sup_{[0,2]}|g'(x)|=\tfrac{4}{3}>1; de fato a unicidade é falsa (há dois pontos fixos).
  • A iteração converge para o ponto atrativo 1 para todo x_0\in[0,2); apenas a condição inicial x_0=2 leva à convergência (trivial) para 2. Assim, exceto pela base degenerada x_0=2, todas as iterações convergem para 1.

Resposta

(i) Sim; existem pontos fixos em [0,2]: x=1 e x=2.
(ii) Não; o ponto fixo não é único (há dois pontos fixos), e g não é contração global em [0,2] pois \sup_{[0,2]}|g'(x)|=\tfrac{4}{3}>1.
(iii) A iteração converge para 1 para qualquer x_0\in[0,2); para x_0=2 a sequência fica em 2.

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