Exercício 5 - Seja f(x)=x^3-9 x+3 e x0=0,5. Dado que xi in(0,1), encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo método de Newton, com precisão varepsilon=10^-4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o zero de f(x)=x^3-9x+3 no intervalo (0,1) usando o método de Newton com precisão varepsilon=10^-4 e ponto inicial x0=0,5. Vamos usar derivadas e a fórmula de iteração do método de Newton.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=3x^2-9
A fórmula de Newton é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)

Passo 3

Aplicando para n=0, temos x0=0,5. Calculamos
f(x0)=(0,5)^3-9cdot0,5+3=-1,375,
f'(x0)=3cdot(0,5)^2-9=-8,25
Logo,
x1=0,5--1,375-8,25=0,333333ldotsapprox0,333333

Passo 4

Para n=1, computamos
f(x1)=(0,333333)^3-9cdot0,333333+3approx0,037037,
f'(x1)=3cdot(0,333333)^2-9approx-8,666667
Assim,
x2=0,333333-0,037037-8,666667approx0,337606

Passo 5

Para n=2, obtemos
f(x2)approx5,2times10^-5,
f'(x2)approx-8,65809
Então,
x3=0,337606-5,2times10^-5-8,65809approx0,337612
A diferença lvert x3-x2rvertapprox6times10^-6 é menor que varepsilon=10^-4, logo paramos.

Resposta

O zero aproximado de f no intervalo (0,1) pelo método de Newton, com precisão 10^-4 e x0=0,5, é
boxed0,3376

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