Exercício 5.11. Com que grau de precisão podemos calcular
utilizando interpolação sobre os pontos:
e
. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá: o exercício pergunta “com que grau de precisão podemos calcular
” usando interpolação nos pontos
,
e
.
Conteúdo: é interpolação polinomial de Lagrange e o conceito de grau de precisão (ou grau de exatidão) de uma fórmula de interpolação.
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: é interpolação polinomial de Lagrange e o conceito de grau de precisão (ou grau de exatidão) de uma fórmula de interpolação.
O que a gente vai precisar:
- Saber o que é polinômio de interpolação de grau
(aqui ), - Definição de grau de precisão: até que grau de polinômio a fórmula dá valor exato,
- A expressão do resto (erro) na interpolação de Lagrange, para ver se fica zero ou não em
.
Passo 2
Primeiro, lembre que um polinômio de interpolação de grau
em
pontos reproduz exatamente todos os polinômios de grau
. Isso significa que o “grau de precisão” é justamente
.
Aqui usamos 3 pontos ( ), então construímos um polinômio
de grau
. Logo, ele é exato para qualquer função que seja um polinômio de grau até 2.
Aqui usamos 3 pontos (
Passo 3
Mas
não é polinômio, então sobra um resto de interpolação. A fórmula geral do resto (ou erro) para interpolação de grau 2 é:
para algum
entre o menor e o maior dos pontos (aqui entre 10 e 30).
Passo 4
Aplicando em
:
-
, então com . -
. -
.
Logo
Isso mostra que o erro não some — ele é grande — salvo se
fosse zero (o que não acontece).
Passo 5
Concluindo:
– O polinômio que usamos é de grau 2,
– Ele é exato só para funções polinomiais de grau até 2,
– Como não é polinomial, sobra um resto de ordem 3.
– O polinômio que usamos é de grau 2,
– Ele é exato só para funções polinomiais de grau até 2,
– Como
Resposta
O grau de precisão da interpolação nos pontos dados é 2.