Exercício 5.11. Com que grau de precisão podemos calcular e^15 utilizando interpolação sobre os pontos: x0=10, x1=20 e x2=30. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá: o exercício pergunta “com que grau de precisão podemos calcular ” usando interpolação nos pontos , e .
Conteúdo: é interpolação polinomial de Lagrange e o conceito de grau de precisão (ou grau de exatidão) de uma fórmula de interpolação.
O que a gente vai precisar:
  • Saber o que é polinômio de interpolação de grau (aqui ),
  • Definição de grau de precisão: até que grau de polinômio a fórmula dá valor exato,
  • A expressão do resto (erro) na interpolação de Lagrange, para ver se fica zero ou não em .

Passo 2

Primeiro, lembre que um polinômio de interpolação de grau em pontos reproduz exatamente todos os polinômios de grau . Isso significa que o “grau de precisão” é justamente .
Aqui usamos 3 pontos ( ), então construímos um polinômio de grau . Logo, ele é exato para qualquer função que seja um polinômio de grau até 2.

Passo 3

Mas R2(x)=f(x)-P2(x) =f^(3)(xi)3!,(x-x0)(x-x1)(x-x2) não é polinômio, então sobra um resto de interpolação. A fórmula geral do resto (ou erro) para interpolação de grau 2 é:
para algum entre o menor e o maior dos pontos (aqui entre 10 e 30).

Passo 4

Aplicando em R2(15) =e^xi6,375 =3756,e^xi =62,5,e^xi <= 62,5,e^30 :
  1. , então com .
  2. .
  3. .
Logo
Isso mostra que o erro não some — ele é grande — salvo se fosse zero (o que não acontece).

Passo 5

Concluindo:
– O polinômio que usamos é de grau 2,
– Ele é exato só para funções polinomiais de grau até 2,
– Como não é polinomial, sobra um resto de ordem 3.

Resposta

O grau de precisão da interpolação nos pontos dados é 2.

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