Calcule as integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Cálculo (2a Parte): (Funções do livro texto)
integral1^9 x-1raizx d x

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem:
Calcular a integral
integral1^9 x-1raizx,dx
Isso cai dentro da matéria “Integrais Definidas e Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2)”.
O que vamos usar:
  • Simplificar a função usando potências (tipo ).
  • Regra do poder para integrar: .
  • Teorema Fundamental do Cálculo (2ª parte): se , então
    .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever x-1raizx = xraizx ;-;1raizx = x^1 - tfrac12 - x^-tfrac12 = x^tfrac12 - x^-tfrac12 em potências:
Isso facilita a aplicação da regra do poder.

Passo 3

Agora achamos uma função F(x) = 23,x^3/2 ;-; 2,x^1/2 cuja derivada é . Usando
:

  • Então

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (2ª parte):
integral1^9 l(x^1/2-x^-1/2r),dx = F(9) - F(1)

Passo 5

Calcular integral1^9 x-1raizx,dx = F(9) - F(1) = 12 - l(-tfrac43r) = 12 + tfrac43 = tfrac363 + tfrac43 = tfrac403 e :
Então

Resposta

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