Exercício 11 (Teórico) - Fórmula da Posição Falsa
(a) Mostre que a fórmula
é exatamente a abscissa do zero da reta que passa por
e
.
(b) Mostre que a bisseção é um caso especial da Posição Falsa quando
.
(c) Mostre que
sempre que
.
(b) Mostre que a bisseção é um caso especial da Posição Falsa quando
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a fórmula
e pede três coisas:
- (a) mostrar que essa fórmula é exatamente a abscissa do zero da reta que passa por
e ; - (b) mostrar que, se
, a fórmula se reduz ao procedimento da bisseção (isto é, ao ponto médio); - (c) mostrar que, sempre que
, o valor dado pela fórmula satisfaz .
Informações relevantes fornecidas:
- Dois pontos no plano:
e . - Para (c) há a hipótese de sinais opostos:
(assume-se , como é usual ao falar de um intervalo ).
Passo 2
Entendendo o que significa “abscissa do zero da reta”: a reta que passa por
e
tem uma interseção com o eixo
(ponto onde
). A abscissa desse ponto é o valor de
tal que a equação da reta avaliada em
dá
. Vou escrever a equação da reta usando a forma de dois pontos (fórmula da reta que liga dois pontos).
Fórmula da reta que liga
e
(forma “dois pontos”):
Aqui a ideia é: a inclinação (coeficiente angular) da reta é
, e a reta que passa por
é descrita por essa equação.
Passo 3
Para encontrar a interseção com o eixo
colocamos
na equação da reta e resolvemos para
. Substituindo
na equação da reta:
Simplifico o lado esquerdo:
Multiplico ambos os lados por
(que é não nulo se
):
Agora isolo
. Expando o lado direito:
Passo o termo que contém
para um lado e os demais para o outro:
Observando o termo à direita, faço algumas manipulações algébricas para obter a forma desejada. Primeiro escrevo
, então:
Agrupando termos com
e
:
Finalmente, divido ambos os lados por
(assumindo
; se fossem iguais a reta seria horizontal e a fórmula original também falharia por divisão por zero, situação tratável à parte):
Isso mostra que a fórmula dada é exatamente a abscissa do ponto onde a reta se cruza com o eixo
. Assim a parte (a) está concluída.
Passo 4
Agora a parte (b). Suponha
. Substituo essa relação na fórmula:
Como
, temos
e portanto
. Então o numerador fica
O denominador é
Dividindo numerador por denominador (assumindo
, caso contrário
e
já seria raiz):
Portanto, quando
, a fórmula da Posição Falsa dá exatamente o ponto médio
, que é o ponto usado pelo método da bisseção. Isso demonstra (b).
Passo 5
Comentário didático curto sobre (b): o método da bisseção usa sempre o ponto médio
do intervalo
. A Posição Falsa escolhe o zero da reta secante entre
e
. Quando os valores de função nos extremos são simétricos em sinal e módulo (
), a secante intercepta o eixo
exatamente no ponto médio, portanto os dois métodos coincidem nesse caso especial.
Passo 6
Agora a parte (c): provar que se
então
.
Começo reescrevendo a fórmula de
de maneira que apareça como uma média ponderada dos extremos
e
. A fórmula original pode ser escrita como
Defino os “pesos”
e
. Observe que, se
, então
e
têm sinais opostos, o que faz com que
e
sejam ambos positivos em pelo menos um ajuste de sinal que vou explicar por casos. A expressão fica:
Esta é uma média ponderada de
e
com pesos
.
Faço a análise por casos (isto é só para garantir os sinais corretos):
Caso 1:
. Então
e
. Logo
é uma média ponderada com pesos positivos. Em particular, porque
, vale
pois multiplicando as desigualdades pelos positivos
e fazendo as comparações resulta em
e
, que são equivalentes a
. Portanto
.
Caso 2:
. Nesse caso
e
. Multiplicando numerador e denominador por
obtemos novamente uma média ponderada com pesos positivos:
Aqui
e
, e a expressão é uma média ponderada de
e
(com os pesos trocados), pelo que, novamente,
.
Em ambos os subcasos a conclusão é a mesma: quando
a fórmula fornece uma combinação convexa estrita de
e
, e portanto
fica estritamente entre
e
.
Passo 7
Resumo final do raciocínio para (c) em forma de desigualdade direta (com uma única linha de raciocínio): se
então com
,
,
logo
. No caso inverso troca-se sinais e obtém-se a mesma conclusão após multiplicar numerador e denominador por
.
Resposta
(a)
é a abscissa do zero da reta que passa por
e
.\n
(b) .\n
(c) sempre que
.
(b)
(c)