Exercício 11 (Teórico) - Fórmula da Posição Falsa

(a) Mostre que a fórmula
x=\frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}
é exatamente a abscissa do zero da reta que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)).
(b) Mostre que a bisseção é um caso especial da Posição Falsa quando f(a)= -f(b).
(c) Mostre que x \in(a, b) sempre que f(a) f(b)<0.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula
x=\frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}
e pede três coisas:
  • (a) mostrar que essa fórmula é exatamente a abscissa do zero da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b));
  • (b) mostrar que, se f(a)=-f(b), a fórmula se reduz ao procedimento da bisseção (isto é, ao ponto médio);
  • (c) mostrar que, sempre que f(a)f(b)<0, o valor x dado pela fórmula satisfaz x\in(a,b).
Informações relevantes fornecidas:
  • Dois pontos no plano: (a,f(a)) e (b,f(b)).
  • Para (c) há a hipótese de sinais opostos: f(a)f(b)<0 (assume-se a<b, como é usual ao falar de um intervalo (a,b)).

Passo 2

Entendendo o que significa “abscissa do zero da reta”: a reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) tem uma interseção com o eixo x (ponto onde y=0). A abscissa desse ponto é o valor de x tal que a equação da reta avaliada em x y=0. Vou escrever a equação da reta usando a forma de dois pontos (fórmula da reta que liga dois pontos).
Fórmula da reta que liga (a,f(a)) e (b,f(b)) (forma “dois pontos”):
y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,(x-a).
Aqui a ideia é: a inclinação (coeficiente angular) da reta é \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}, e a reta que passa por (a,f(a)) é descrita por essa equação.

Passo 3

Para encontrar a interseção com o eixo x colocamos y=0 na equação da reta e resolvemos para x. Substituindo y=0 na equação da reta:
0-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,(x-a).
Simplifico o lado esquerdo:
-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,(x-a).
Multiplico ambos os lados por (b-a) (que é não nulo se a\neq b):
-(b-a)f(a)=(f(b)-f(a))(x-a).
Agora isolo x. Expando o lado direito:
-(b-a)f(a)=(f(b)-f(a))x-(f(b)-f(a))a.
Passo o termo que contém x para um lado e os demais para o outro:
(f(b)-f(a))x = (f(b)-f(a))a-(b-a)f(a).
Observando o termo à direita, faço algumas manipulações algébricas para obter a forma desejada. Primeiro escrevo (b-a)f(a)=bf(a)-af(a), então:
(f(b)-f(a))x = (f(b)-f(a))a - \bigl(bf(a)-af(a)\bigr).
Agrupando termos com a e b:
(f(b)-f(a))x = a f(b) - b f(a).
Finalmente, divido ambos os lados por f(b)-f(a) (assumindo f(b)\neq f(a); se fossem iguais a reta seria horizontal e a fórmula original também falharia por divisão por zero, situação tratável à parte):
x=\frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}.
Isso mostra que a fórmula dada é exatamente a abscissa do ponto onde a reta se cruza com o eixo x. Assim a parte (a) está concluída.

Passo 4

Agora a parte (b). Suponha f(a)=-f(b). Substituo essa relação na fórmula:
x=\frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}.
Como f(a)=-f(b), temos f(a)=-f(b) e portanto -b f(a) = -b(-f(b)) = b f(b). Então o numerador fica
a f(b)-b f(a) = a f(b) - b(-f(b)) = a f(b) + b f(b) = (a+b)f(b).
O denominador é
f(b)-f(a)=f(b)-(-f(b))=2f(b).
Dividindo numerador por denominador (assumindo f(b)\neq 0, caso contrário f(a)=0 e a já seria raiz):
x=\frac{(a+b)f(b)}{2f(b)}=\frac{a+b}{2}.
Portanto, quando f(a)=-f(b), a fórmula da Posição Falsa dá exatamente o ponto médio \dfrac{a+b}{2}, que é o ponto usado pelo método da bisseção. Isso demonstra (b).

Passo 5

Comentário didático curto sobre (b): o método da bisseção usa sempre o ponto médio \dfrac{a+b}{2} do intervalo [a,b]. A Posição Falsa escolhe o zero da reta secante entre (a,f(a)) e (b,f(b)). Quando os valores de função nos extremos são simétricos em sinal e módulo ( f(a)=-f(b)), a secante intercepta o eixo x exatamente no ponto médio, portanto os dois métodos coincidem nesse caso especial.

Passo 6

Agora a parte (c): provar que se f(a)f(b)<0 então x\in(a,b).
Começo reescrevendo a fórmula de x de maneira que apareça como uma média ponderada dos extremos a e b. A fórmula original pode ser escrita como
x=\frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}=\frac{a f(b) + b(-f(a))}{f(b)+(-f(a))}.
Defino os “pesos” \alpha=f(b) e \beta=-f(a). Observe que, se f(a)f(b)<0, então f(a) e f(b) têm sinais opostos, o que faz com que \alpha e \beta sejam ambos positivos em pelo menos um ajuste de sinal que vou explicar por casos. A expressão fica:
x=\frac{\alpha a + \beta b}{\alpha+\beta}.
Esta é uma média ponderada de a e b com pesos \alpha,\beta.
Faço a análise por casos (isto é só para garantir os sinais corretos):
Caso 1: f(a)<0<f(b). Então \alpha=f(b)>0 e \beta=-f(a)>0. Logo x é uma média ponderada com pesos positivos. Em particular, porque a<b, vale
a < \frac{\alpha a + \beta b}{\alpha+\beta} < b,
pois multiplicando as desigualdades pelos positivos \alpha+\beta e fazendo as comparações resulta em \alpha a + \beta a < \alpha a + \beta b e \alpha a + \beta b < \alpha b + \beta b, que são equivalentes a a<b. Portanto x\in(a,b).
Caso 2: f(b)<0<f(a). Nesse caso \alpha=f(b)<0 e \beta=-f(a)<0. Multiplicando numerador e denominador por -1 obtemos novamente uma média ponderada com pesos positivos:
x=\frac{(-\alpha) b + (-\beta) a}{(-\alpha)+(-\beta)}.
Aqui -\alpha=-f(b)>0 e -\beta=f(a)>0, e a expressão é uma média ponderada de a e b (com os pesos trocados), pelo que, novamente, x\in(a,b).
Em ambos os subcasos a conclusão é a mesma: quando f(a)f(b)<0 a fórmula fornece uma combinação convexa estrita de a e b, e portanto x fica estritamente entre a e b.

Passo 7

Resumo final do raciocínio para (c) em forma de desigualdade direta (com uma única linha de raciocínio): se f(a)<0<f(b) então com \alpha=f(b)>0, \beta=-f(a)>0,
a = \frac{\alpha a + \beta a}{\alpha+\beta} < \frac{\alpha a + \beta b}{\alpha+\beta} = x < \frac{\alpha b + \beta b}{\alpha+\beta} = b,
logo x\in(a,b). No caso inverso troca-se sinais e obtém-se a mesma conclusão após multiplicar numerador e denominador por -1.

Resposta

(a) \displaystyle x=\frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)} é a abscissa do zero da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)).\n
(b) \displaystyle x=\frac{a+b}{2}.\n
(c) \displaystyle x\in(a,b) sempre que \displaystyle f(a)f(b)<0.

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