Exercício 13 - Ponto fixo - existência e unicidade
Para cada função g, determine: (i) se existe ponto fixo em a, b (use o Teorema de Brouwer); (ii) se o ponto fixo é único (use o Teorema da Contração); (iii) se a iteração x_{k+1}=g\left(x_{k}\right) converge.
g(x)=\sqrt{10-x}, \quad[0,3]

Passo 1

O enunciado dá a função g e o intervalo:
  • g(x)=\sqrt{10-x}.
  • Intervalo [a,b]=[0,3].
O que precisa ser respondido (para este g e este intervalo):
(i) Existe ponto fixo em [0,3]? (pediu-se usar o Teorema de Brouwer — vou verificar se é aplicável.)
(ii) O ponto fixo (se existir) é único? (usar o Teorema da Contração / argumento de contração.)
(iii) A iteração x_{k+1}=g(x_k) converge (para o ponto fixo)? Indicar para x_0\in[0,3].
Também vou listar valores úteis que usarei (vou pegar estes números fazendo as contas da própria função):
  • g(0)=\sqrt{10}.
  • g(3)=\sqrt{7}.

Passo 2

Verificação da aplicabilidade do Teorema de Brouwer (o enunciado pedia usá-lo para existência).
Breve lembrete do Teorema de Brouwer (caso unidimensional): se g é contínua e mapeia o conjunto compacto convexo [0,3] em si mesmo (isto é, g([0,3])\subset[0,3]), então existe pelo menos um ponto fixo x^*\in[0,3] tal que g(x^*)=x^*.
Agora calculemos:
g(0)=\sqrt{10}\approx 3{,}16227766>3, \qquad g(3)=\sqrt{7}\approx 2{,}64575131<3.
Como g(0)>3, temos que g(0)\notin[0,3]. Portanto g([0,3])\not\subset[0,3]. Conclusão: as hipóteses do Teorema de Brouwer NÃO estão satisfeitas para [0,3], logo não dá para usar Brouwer diretamente para garantir existência aqui.
Mas isso não significa que não exista ponto fixo — apenas que Brouwer não pode ser aplicado diretamente. Vou mostrar a existência por outro método (continuidade + Teorema do Valor Intermediário), que é mais elementar e suficiente.

Passo 3

Existência do ponto fixo usando o Teorema do Valor Intermediário.
Defina a função contínua
h(x)=g(x)-x=\sqrt{10-x}-x,
definida e contínua em [0,3] (composição de funções contínuas). Calcule os sinais nos extremos:
h(0)=\sqrt{10}-0=\sqrt{10}>0, \qquad h(3)=\sqrt{7}-3\approx 2{,}64575131-3=-0{,}35424869<0.
Como h é contínua e h(0)>0, h(3)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe x^*\in(0,3) tal que
h(x^*)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad g(x^*)=x^*.
Portanto existe pelo menos um ponto fixo em [0,3].
(Comentário adicional: resolvendo explicitamente x=\sqrt{10-x} ao quadrado obtém-se x^2+x-10=0 e a raiz positiva é \dfrac{-1+\sqrt{41}}{2}\approx 2{,}701562, que de fato está em (0,3). Isso confirma numericament e a existência.)

Passo 4

Estudo da unicidade: usar argumento de contração (ou Teorema da Contração).
Ideia: se g for Lipschitz com constante L<1 em [0,3], então dois pontos fixos não podem existir (pela desigualdade de contração). Uma forma prática é usar a derivada: se g é diferenciável e \sup_{x\in[0,3]}|g'(x)|=L<1, então g é contração com constante L.
Calcule g'(x):
g(x)= (10-x)^{1/2}\quad\Rightarrow\quad g'(x)= -\frac{1}{2\sqrt{10-x}}.
Tomando o módulo,
|g'(x)|=\frac{1}{2\sqrt{10-x}}.
Em [0,3] o denominador \sqrt{10-x} varia entre \sqrt{10} (em x=0) e \sqrt{7} (em x=3). Assim o supremo de |g'| no intervalo ocorre em x=3:
L:=\sup_{x\in[0,3]}|g'(x)|=\frac{1}{2\sqrt{7}}\approx 0{,}1889822365<1.
Logo g é Lipschitz com constante L<1 em [0,3]. Agora argumento de unicidade: suponha x_1,x_2\in[0,3] sejam pontos fixos, então
|x_1-x_2|=|g(x_1)-g(x_2)|\le L|x_1-x_2|.
Como L<1, isto só é possível se |x_1-x_2|=0, ou seja x_1=x_2. Portanto o ponto fixo em [0,3] é único.
Comentário sobre hipóteses: não foi necessário que g([0,3])\subset[0,3] para provar unicidade — bastou a desigualdade de Lipschitz válida para todos x,y\in[0,3].

Passo 5

Convergência da iteração x_{k+1}=g(x_k) — discussão e prova de convergência para qualquer x_0\in[0,3].
Lembrete do Teorema de Banach (Teorema da Contração para iterações): se g é contração de um espaço completo X em si próprio ( g:X\to X e existe L<1 tal que |g(x)-g(y)|\le L|x-y| para todos x,y\in X), então existe um único ponto fixo em X e a iteração x_{k+1}=g(x_k) converge para esse ponto fixo para qualquer x_0\in X.
Aqui há um pequeno empecilho: já vimos que g([0,3])\not\subset[0,3] (por exemplo g(0)>\!3), então não podemos aplicar o teorema de Banach diretamente sobre X=[0,3]. Precisamos mostrar que, apesar disso, a iteração com x_0\in[0,3] entra rapidamente num subintervalo fechado e invariant e aí o Banach vale.
Observações úteis:
  • Para qualquer x\in[0,3] temos
g(x)\in[\sqrt{7},\sqrt{10}]\approx[2{,}64575131,\;3{,}16227766].
Logo x_1=g(x_0) sempre pertence a [\sqrt{7},\sqrt{10}].
  • Agora aplique g de novo: para y\in[\sqrt{7},\sqrt{10}] tem-se
g(y)\in\bigl[\sqrt{10-\sqrt{10}},\\ \sqrt{10-\sqrt{7}}\bigr]\approx[2{,}615039,\;2{,}712398].
Logo x_2=g(x_1) pertence a [\sqrt{10-\sqrt{10}},\sqrt{10-\sqrt{7}}], que é um subintervalo fechado contido em [0,3] e bastante pequeno.
Escolha um subintervalo fechado e invariant (por exemplo)
J=\bigl[2{,}61,\\\ 2{,}72\bigr].
Verifique rapidamente (valores numéricos já indicam) que g(J)\subset J: para as extremidades
g(2{,}61)\approx 2{,}7199,\qquad g(2{,}72)\approx 2{,}6981,
portanto g([2{,}61,2{,}72])\subset[2{,}6981,2{,}7199]\subset[2{,}61,2{,}72]. Assim J é invariantes sob g.
Além disso, a constante de Lipschitz L=\dfrac{1}{2\sqrt{10-x}} satisfaz \sup_{x\in J}|g'(x)|<1 (na verdade já sabíamos \sup_{[0,3]}|g'|<1), então g é contração em J. Agora podemos aplicar o Teorema de Banach em J: existe um único ponto fixo em J (que é o mesmo que o único em [0,3]) e a iteração converge para esse ponto fixo para qualquer x_0\in J.
Finalmente, para qualquer x_0\in[0,3] constatamos que x_2\in J (pelo argumento acima: x_1\in[\sqrt{7},\sqrt{10}] e então x_2=g(x_1)\in[g(\sqrt{10}),g(\sqrt{7})]\subset J). Assim para qualquer x_0\in[0,3] a sequência atinge J em no máximo duas iterações e, a partir daí, converge para o único ponto fixo em J (pelo Teorema de Banach). Portanto a iteração converge para o ponto fixo, para qualquer x_0\in[0,3].
Comentário sobre taxa: a convergência é linear com razão assintótica no máximo L (por exemplo L\le 1/(2\sqrt{7})\approx 0{,}18898), ou seja os erros diminuem aproximadamente como fator L por iteração uma vez dentro do regime de contração.

Passo 6

Recapitulando e interpretando os resultados intuitivamente:
  • Mesmo que g não envie todo o intervalo [0,3] em si (por isso Brouwer não era aplicável diretamente), a equação x=\sqrt{10-x} tem uma solução em (0,3) porque g(x)-x muda de sinal entre 0 e 3.
  • A função é suficientemente “esticada” (na verdade pouco inclinada): a derivada em módulo é sempre menor que 1 no intervalo, garantindo unicidade do ponto fixo.
  • A iteração converge porque, embora a primeira iteração possa sair ligeiramente de [0,3], em poucas iterações a sequência entra num pequeno intervalo invariante onde g é uma contração — aí o Teorema de Banach garante convergência ao único ponto fixo.

Resposta

(i) Existe ponto fixo em [0,3]: Sim.
(ii) O ponto fixo é único: Sim.
(iii) A iteração x_{k+1}=g(x_k) converge (para qualquer x_0\in[0,3]): Sim, converge para o ponto fixo único (aprox. x^*=\dfrac{-1+\sqrt{41}}{2}\approx 2{,}701562).

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