Exercício 13 - Ponto fixo - existência e unicidade
Para cada função
, determine: (i) se existe ponto fixo em
(use o Teorema de Brouwer); (ii) se o ponto fixo é único (use o Teorema da Contração); (iii) se a iteração
converge.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo:
-
. - Intervalo
.
O que precisa ser respondido (para este
e este intervalo):
(i) Existe ponto fixo em ? (pediu-se usar o Teorema de Brouwer — vou verificar se é aplicável.)
(ii) O ponto fixo (se existir) é único? (usar o Teorema da Contração / argumento de contração.)
(iii) A iteração converge (para o ponto fixo)? Indicar para
.
(i) Existe ponto fixo em
(ii) O ponto fixo (se existir) é único? (usar o Teorema da Contração / argumento de contração.)
(iii) A iteração
Também vou listar valores úteis que usarei (vou pegar estes números fazendo as contas da própria função):
-
. -
.
Passo 2
Verificação da aplicabilidade do Teorema de Brouwer (o enunciado pedia usá-lo para existência).
Breve lembrete do Teorema de Brouwer (caso unidimensional): se
é contínua e mapeia o conjunto compacto convexo
em si mesmo (isto é,
), então existe pelo menos um ponto fixo
tal que
.
Agora calculemos:
Como
, temos que
. Portanto
. Conclusão: as hipóteses do Teorema de Brouwer NÃO estão satisfeitas para
, logo não dá para usar Brouwer diretamente para garantir existência aqui.
Mas isso não significa que não exista ponto fixo — apenas que Brouwer não pode ser aplicado diretamente. Vou mostrar a existência por outro método (continuidade + Teorema do Valor Intermediário), que é mais elementar e suficiente.
Passo 3
Existência do ponto fixo usando o Teorema do Valor Intermediário.
Defina a função contínua
definida e contínua em
(composição de funções contínuas). Calcule os sinais nos extremos:
Como
é contínua e
,
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
Portanto existe pelo menos um ponto fixo em
.
(Comentário adicional: resolvendo explicitamente
ao quadrado obtém-se
e a raiz positiva é
, que de fato está em
. Isso confirma numericament e a existência.)
Passo 4
Estudo da unicidade: usar argumento de contração (ou Teorema da Contração).
Ideia: se
for Lipschitz com constante
em
, então dois pontos fixos não podem existir (pela desigualdade de contração). Uma forma prática é usar a derivada: se
é diferenciável e
, então
é contração com constante
.
Calcule
:
Tomando o módulo,
Em
o denominador
varia entre
(em
) e
(em
). Assim o supremo de
no intervalo ocorre em
:
Logo
é Lipschitz com constante
em
. Agora argumento de unicidade: suponha
sejam pontos fixos, então
Como
, isto só é possível se
, ou seja
. Portanto o ponto fixo em
é único.
Comentário sobre hipóteses: não foi necessário que
para provar unicidade — bastou a desigualdade de Lipschitz válida para todos
.
Passo 5
Convergência da iteração
— discussão e prova de convergência para qualquer
.
Lembrete do Teorema de Banach (Teorema da Contração para iterações): se
é contração de um espaço completo
em si próprio (
e existe
tal que
para todos
), então existe um único ponto fixo em
e a iteração
converge para esse ponto fixo para qualquer
.
Aqui há um pequeno empecilho: já vimos que
(por exemplo
), então não podemos aplicar o teorema de Banach diretamente sobre
. Precisamos mostrar que, apesar disso, a iteração com
entra rapidamente num subintervalo fechado e invariant e aí o Banach vale.
Observações úteis:
- Para qualquer
temos
Logo
sempre pertence a
.
- Agora aplique
de novo: para tem-se
Logo
pertence a
, que é um subintervalo fechado contido em
e bastante pequeno.
Escolha um subintervalo fechado e invariant (por exemplo)
Verifique rapidamente (valores numéricos já indicam) que
: para as extremidades
portanto
. Assim
é invariantes sob
.
Além disso, a constante de Lipschitz
satisfaz
(na verdade já sabíamos
), então
é contração em
. Agora podemos aplicar o Teorema de Banach em
: existe um único ponto fixo em
(que é o mesmo que o único em
) e a iteração converge para esse ponto fixo para qualquer
.
Finalmente, para qualquer
constatamos que
(pelo argumento acima:
e então
). Assim para qualquer
a sequência atinge
em no máximo duas iterações e, a partir daí, converge para o único ponto fixo em
(pelo Teorema de Banach). Portanto a iteração converge para o ponto fixo, para qualquer
.
Comentário sobre taxa: a convergência é linear com razão assintótica no máximo
(por exemplo
), ou seja os erros diminuem aproximadamente como fator
por iteração uma vez dentro do regime de contração.
Passo 6
Recapitulando e interpretando os resultados intuitivamente:
- Mesmo que
não envie todo o intervalo em si (por isso Brouwer não era aplicável diretamente), a equação tem uma solução em porque muda de sinal entre e . - A função é suficientemente “esticada” (na verdade pouco inclinada): a derivada em módulo é sempre menor que
no intervalo, garantindo unicidade do ponto fixo. - A iteração converge porque, embora a primeira iteração possa sair ligeiramente de
, em poucas iterações a sequência entra num pequeno intervalo invariante onde é uma contração — aí o Teorema de Banach garante convergência ao único ponto fixo.
Resposta
(i) Existe ponto fixo em
: Sim.
(ii) O ponto fixo é único: Sim.
(iii) A iteração converge (para qualquer
): Sim, converge para o ponto fixo único (aprox.
).
(ii) O ponto fixo é único: Sim.
(iii) A iteração