Exercício 1.13. Determine se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado dá a série cujos termos gerais são
e a soma é
O que a questão pede: determinar se essa série converge ou diverge.
Informações úteis explicitadas:
- O termo geral é
. - A série é de termos positivos, logo podemos falar em convergência (ou divergência) simples e em convergência absoluta (aqui coincidem porque os termos são não-negativos).
- Não se pede o valor da soma, apenas se converge ou diverge.
Passo 2
Vou usar o Teste da raiz (Teste de Cauchy) porque ele é muito eficaz quando os termos têm uma potência com
no expoente, como é o caso aqui. Primeiro, lembro o enunciado do teste, explicando bem:
Teorema (Teste da raiz): seja
uma série de números reais (ou complexos). Defina
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui
porque os termos são positivos. Vou calcular
.
Passo 3
Calcular a raiz enésima do termo geral e o limite:
Escrevendo a raiz:
Agora calcular o limite quando
. Uma forma direta é dividir numerador e denominador por
:
Tomando o limite:
Portanto o valor do
do teste da raiz é
Passo 4
Interpretando o resultado do Teste da raiz: como
, pelo teste a série
converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência propriamente dita, então a série converge.
Vou reforçar a intuição: a raiz enésima tende para
, isto é, para grandes
o termo
se comporta como uma potência geométrica aproximadamente
, e séries geométricas com razão menor que 1 convergem.
Passo 5
(Complemento prático — comparação geométrica explícita para você ter outra ferramenta.) Como
, existe uma razão
com
e um inteiro
tais que, para todo
,
Por exemplo, tome
. Resolvendo
tem-se
, ou seja
, o que dá
. Assim, para todo
vale
Como
é uma série geométrica convergente, o restante da série (a partir de
) converge; os termos iniciais
são finitos e não afetam a convergência. Logo a série total converge. Isso confirma o resultado do Teste da raiz de forma mais elementar.
Passo 6
Conclusão e palavra de incentivo: a série converge e na verdade converge absolutamente — isso já dá segurança na resposta. Excelente: você usou um teste poderoso (raiz) e também viu uma comparação geométrica prática que costuma ser útil em provas — guarda essa técnica!
Resposta
A série converge (convergência absoluta).