Exercício 1.13. Determine se as séries convergem ou divergem.
\frac{2}{1}+\left(\frac{3}{3}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{3}+\cdots+\left(\frac{n+1}{2 n-1}\right)^{n}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série cujos termos gerais são
a_n=\left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^{n},\qquad n=1,2,3,\dots
e a soma é
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\frac{2}{1}+\left(\frac{3}{3}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{3}+\cdots.
O que a questão pede: determinar se essa série converge ou diverge.
Informações úteis explicitadas:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\left(\dfrac{n+1}{2n-1}\right)^{n}.
  • A série é de termos positivos, logo podemos falar em convergência (ou divergência) simples e em convergência absoluta (aqui coincidem porque os termos são não-negativos).
  • Não se pede o valor da soma, apenas se converge ou diverge.

Passo 2

Vou usar o Teste da raiz (Teste de Cauchy) porque ele é muito eficaz quando os termos têm uma potência com n no expoente, como é o caso aqui. Primeiro, lembro o enunciado do teste, explicando bem:
Teorema (Teste da raiz): seja \sum a_n uma série de números reais (ou complexos). Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui |a_n|=a_n porque os termos são positivos. Vou calcular \sqrt[n]{a_n}.

Passo 3

Calcular a raiz enésima do termo geral e o limite:
Escrevendo a raiz:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^{n}}=\frac{n+1}{2n-1}.
Agora calcular o limite quando n\to\infty. Uma forma direta é dividir numerador e denominador por n:
\frac{n+1}{2n-1}=\frac{1+\dfrac{1}{n}}{2-\dfrac{1}{n}}.
Tomando o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n-1}=\frac{1+0}{2-0}=\frac{1}{2}.
Portanto o valor do L do teste da raiz é
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Interpretando o resultado do Teste da raiz: como L=\dfrac{1}{2}<1, pelo teste a série \sum a_n converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência propriamente dita, então a série converge.
Vou reforçar a intuição: a raiz enésima tende para \tfrac{1}{2}, isto é, para grandes n o termo a_n se comporta como uma potência geométrica aproximadamente (1/2)^n, e séries geométricas com razão menor que 1 convergem.

Passo 5

(Complemento prático — comparação geométrica explícita para você ter outra ferramenta.) Como \dfrac{n+1}{2n-1}\to\dfrac{1}{2}, existe uma razão r com \tfrac{1}{2}<r<1 e um inteiro N tais que, para todo n\ge N,
\frac{n+1}{2n-1}\le r.
Por exemplo, tome r=\dfrac{3}{5}=0{,}6. Resolvendo
\frac{n+1}{2n-1}\le\frac{3}{5}
tem-se 5(n+1)\le 3(2n-1), ou seja 5n+5\le 6n-3, o que dá n\ge 8. Assim, para todo n\ge 8 vale
a_n=\left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^{n}\le\left(\frac{3}{5}\right)^{n}.
Como \sum_{n=8}^{\infty}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n} é uma série geométrica convergente, o restante da série (a partir de n=8) converge; os termos iniciais n=1,\dots,7 são finitos e não afetam a convergência. Logo a série total converge. Isso confirma o resultado do Teste da raiz de forma mais elementar.

Passo 6

Conclusão e palavra de incentivo: a série converge e na verdade converge absolutamente — isso já dá segurança na resposta. Excelente: você usou um teste poderoso (raiz) e também viu uma comparação geométrica prática que costuma ser útil em provas — guarda essa técnica!

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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