Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge.
Informação dada: o termo geral da série é
Informação dada: o termo geral da série é
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral
escrevendo as raízes como potências:
Substituindo em
obtemos
Agora combinamos as potências de
no numerador e denominador:
Portanto
Passo 3
Para decidir convergência é útil observar o comportamento de
quando
é grande. Como
é assintoticamente equivalente a
para
, temos heurística
Isso sugere comparar com a série-p
com
.
Passo 4
Lembrete didático: a série-p
converge se, e somente se,
. Aqui
, então
converge. Para transformar a observação heurística em prova rigorosa usamos o teste da comparação ou o teste da comparação por limite (limit comparison test).
Passo 5
Aplicando o teste da comparação por limite, definimos
O teste diz: se
existe e
, então
e
têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Calculemos o limite:
Agora o limite quando
é
Como
e
converge (pois
), o teste garante que
também converge.
Passo 6
Comentário prático alternativo (mais simples para a prova): para
vale
, então
Como
converge, pela comparação direta
converge. Essa é uma prova ainda mais direta.
Passo 7
Conclusão final e reforço: a série original tem termos positivos e, comparando com a série-p de expoente
, obtemos convergência. Força aí — é só reconhecer a potência e usar comparação!
Resposta
Converge.