Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
(d) \frac{1}{2}+\frac{\sqrt[3]{2}}{3 \sqrt{2}}+\cdots+\frac{\sqrt[3]{n}}{(n+1) \sqrt{n}}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[3]{2}}{3\sqrt{2}}+\cdots+\frac{\sqrt[3]{n}}{(n+1)\sqrt{n}}+\cdots
converge ou diverge.
Informação dada: o termo geral da série é
a_n=\frac{\sqrt[3]{n}}{(n+1)\sqrt{n}}.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral a_n escrevendo as raízes como potências:
\sqrt[3]{n}=n^{1/3},\qquad \sqrt{n}=n^{1/2}.
Substituindo em a_n obtemos
a_n=\frac{n^{1/3}}{(n+1)\,n^{1/2}}.
Agora combinamos as potências de n no numerador e denominador:
n^{1/3}\cdot n^{-1/2}=n^{1/3-1/2}=n^{-1/6}.
Portanto
a_n=\frac{n^{-1/6}}{\,n+1\,}=\frac{1}{(n+1)\,n^{1/6}}.

Passo 3

Para decidir convergência é útil observar o comportamento de a_n quando n é grande. Como n+1 é assintoticamente equivalente a n para n\to\infty, temos heurística
a_n\sim \frac{1}{n\cdot n^{1/6}}=\frac{1}{n^{7/6}}.
Isso sugere comparar com a série-p \sum \frac{1}{n^p} com p=\tfrac{7}{6}.

Passo 4

Lembrete didático: a série-p \sum \frac{1}{n^p} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{7}{6}>1, então \sum \frac{1}{n^{7/6}} converge. Para transformar a observação heurística em prova rigorosa usamos o teste da comparação ou o teste da comparação por limite (limit comparison test).

Passo 5

Aplicando o teste da comparação por limite, definimos
b_n=\frac{1}{n^{7/6}}.
O teste diz: se \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} existe e 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Calculemos o limite:
\frac{a_n}{b_n} =\frac{\dfrac{n^{-1/6}}{n+1}}{n^{-7/6}} =\frac{n^{-1/6}\,n^{7/6}}{n+1} =\frac{n}{n+1}.
Agora o limite quando n\to\infty é
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.
Como L=1\in(0,\infty) e \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{7/6}} converge (pois 7/6>1), o teste garante que \sum a_n também converge.

Passo 6

Comentário prático alternativo (mais simples para a prova): para n\ge 1 vale n+1\ge n, então
a_n=\frac{1}{(n+1)n^{1/6}}\le\frac{1}{n\cdot n^{1/6}}=\frac{1}{n^{7/6}}.
Como \sum 1/n^{7/6} converge, pela comparação direta \sum a_n converge. Essa é uma prova ainda mais direta.

Passo 7

Conclusão final e reforço: a série original tem termos positivos e, comparando com a série-p de expoente 7/6>1, obtemos convergência. Força aí — é só reconhecer a potência e usar comparação!

Resposta

Converge.

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