Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas relevantes:
- O enunciado fornece os termos gerais da série na forma
para . - A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série infinita formada por esses termos.
Passo 2
Escrevemos o termo geral da série de forma mais conveniente. Para cada
definimos
Vamos estudar o limite de
quando
. Isso é importante porque uma condição necessária para que uma série
convirja é que os termos
tendam a zero.
Passo 3
Para calcular
é útil passar ao logaritmo, pois a expressão envolve uma potência com expoente que depende de
. Considere
Se conseguirmos o limite de
quando
, então voltamos pela exponencial para achar o limite de
.
Passo 4
Avaliar
. Podemos tratar
como variável real
e usar l’Hôpital (ou argumentar que
cresce muito mais devagar que
). Aplicando l’Hôpital:
Portanto
e assim
Passo 5
Voltando pela exponencial, obtemos
Logo os termos da série não tendem a zero; eles tendem a
.
Passo 6
Lembrete importante (teste da condição necessária): se a série
converge então é necessário que
. Aqui encontramos
. Portanto a série não pode convergir.
Passo 7
Conclusão final: a série diverge pelo teste do termo geral (também chamado de teste da n-ésima parcela). Uma observação intuitiva: como os termos não diminuem para zero (ficam próximos de
), somar infinitos desses termos dá uma soma que cresce sem limite — não há como cancelar para alcançar um valor finito.
Resposta
Diverge