Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
(e) \quad 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[n]{n}}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
1+\frac{1}{\sqrt[2]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[n]{n}}+\cdots
converge ou diverge. Informações dadas relevantes:
  • O enunciado fornece os termos gerais da série na forma \dfrac{1}{\sqrt[n]{n}} para n=1,2,3,\dots.
  • A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série infinita formada por esses termos.

Passo 2

Escrevemos o termo geral da série de forma mais conveniente. Para cada n definimos
a_n=\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=n^{-1/n}.
Vamos estudar o limite de a_n quando n\to\infty. Isso é importante porque uma condição necessária para que uma série \sum a_n convirja é que os termos a_n tendam a zero.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n é útil passar ao logaritmo, pois a expressão envolve uma potência com expoente que depende de n. Considere
\ln(a_n)=\ln\bigl(n^{-1/n}\bigr)=-\frac{\ln n}{n}.
Se conseguirmos o limite de -\dfrac{\ln n}{n} quando n\to\infty, então voltamos pela exponencial para achar o limite de a_n.

Passo 4

Avaliar \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}. Podemos tratar n como variável real x e usar l’Hôpital (ou argumentar que \ln x cresce muito mais devagar que x). Aplicando l’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0,
e assim
\lim_{n\to\infty}\ln(a_n)=\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{\ln n}{n}\right)=0.

Passo 5

Voltando pela exponencial, obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} e^{\ln(a_n)} = e^{0}=1.
Logo os termos da série não tendem a zero; eles tendem a 1.

Passo 6

Lembrete importante (teste da condição necessária): se a série \sum a_n converge então é necessário que \lim_{n\to\infty} a_n=0. Aqui encontramos \lim_{n\to\infty} a_n=1\neq 0. Portanto a série não pode convergir.

Passo 7

Conclusão final: a série diverge pelo teste do termo geral (também chamado de teste da n-ésima parcela). Uma observação intuitiva: como os termos não diminuem para zero (ficam próximos de 1), somar infinitos desses termos dá uma soma que cresce sem limite — não há como cancelar para alcançar um valor finito.

Resposta

Diverge

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