Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
(f)
(f)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a série
converge ou diverge.
Informações dadas:
- O termo geral é
. - Queremos decidir convergência ou divergência da soma infinita dos
.
Passo 2
Ideia principal (intuição que vamos tornar formal): para
grande,
se comporta como
, logo
se comporta como
. Então o termo
se parece com
. Séries do tipo
são chamadas de séries
-série e têm o teste conhecido: convergem se, e somente se,
; divergem se
. Vou explicar por que esse teste vale (resumo rápido e didático).
Explicação do teste das
-séries (razão via integral):
- Considere a função
para . - Avaliando a integral imprópria
: Se , Agora: - Se
então e quando , logo a integral converge. - Se
então não tende a (tende a ou a constante), logo a integral diverge.
- Se
- Pelo teste da integral (que conecta comportamento da integral e da série para funções positivas e decrescentes), conclui-se que a
-série converge só quando .
Passo 3
Aplicar um teste comparativo adequado: como
é positivo, uma boa escolha é o teste da comparação-limite (limit comparison test). Ele diz: se
,
e
existe com
, então
e
convergem ou divergem juntas.
Escolho
(a
-série com
). Agora calculo o limite:
Reescrevendo a razão dentro da mesma potência:
Como
quando
, segue que
Portanto
, que é finito e positivo.
Passo 4
Conclusão pelo teste da comparação-limite: como
e a série de referência
é uma
-série com
, essa
-série diverge (pelo teste das
-séries explicado no Passo 2). Logo, pela comparação-limite, a série
também diverge.
Passo 5
Resumo intuitivo curto: os termos decaem como
, que é lento demais (exponente menor que
) para somar a algo finito — por isso diverge. Força aí nos estudos, você tá indo bem em olhar o comportamento assintótico dos termos!
Resposta
A série diverge.