Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
(f) \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}+3}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}+3}}
converge ou diverge.
Informações dadas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{\sqrt[3]{n^{2}+3}}=\dfrac{1}{(n^{2}+3)^{1/3}}.
  • Queremos decidir convergência ou divergência da soma infinita dos a_n.

Passo 2

Ideia principal (intuição que vamos tornar formal): para n grande, n^{2}+3 se comporta como n^{2}, logo (n^{2}+3)^{1/3} se comporta como n^{2/3}. Então o termo a_n se parece com 1/n^{2/3}. Séries do tipo
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
são chamadas de séries p-série e têm o teste conhecido: convergem se, e somente se, p>1; divergem se p\le 1. Vou explicar por que esse teste vale (resumo rápido e didático).
Explicação do teste das p-séries (razão via integral):
  • Considere a função f(x)=x^{-p} para x\ge1.
  • Avaliando a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx: \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{R\to\infty} \int_{1}^{R} x^{-p}\,dx.Se p\neq 1, \int_{1}^{R} x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{R} = \frac{R^{1-p}-1}{1-p}.Agora:
    • Se p>1 então 1-p<0 e R^{1-p}\to 0 quando R\to\infty, logo a integral converge.
    • Se p\le 1 então R^{1-p} não tende a 0 (tende a \infty ou a constante), logo a integral diverge.
  • Pelo teste da integral (que conecta comportamento da integral e da série para funções positivas e decrescentes), conclui-se que a p-série converge só quando p>1.

Passo 3

Aplicar um teste comparativo adequado: como a_n é positivo, uma boa escolha é o teste da comparação-limite (limit comparison test). Ele diz: se a_n>0, b_n>0 e
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas.
Escolho b_n=\dfrac{1}{n^{2/3}} (a p-série com p=\tfrac{2}{3}). Agora calculo o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1/(n^{2}+3)^{1/3}}{1/n^{2/3}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2/3}}{(n^{2}+3)^{1/3}}.
Reescrevendo a razão dentro da mesma potência:
\frac{n^{2/3}}{(n^{2}+3)^{1/3}} = \left(\frac{n^{2}}{n^{2}+3}\right)^{1/3}.
Como \dfrac{n^{2}}{n^{2}+3}\to 1 quando n\to\infty, segue que
L=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{2}}{n^{2}+3}\right)^{1/3}=1^{1/3}=1.
Portanto L=1, que é finito e positivo.

Passo 4

Conclusão pelo teste da comparação-limite: como L=1 e a série de referência \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2/3}} é uma p-série com p=\tfrac{2}{3}\le 1, essa p-série diverge (pelo teste das p-séries explicado no Passo 2). Logo, pela comparação-limite, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}+3}}
também diverge.

Passo 5

Resumo intuitivo curto: os termos decaem como 1/n^{2/3}, que é lento demais (exponente menor que 1) para somar a algo finito — por isso diverge. Força aí nos estudos, você tá indo bem em olhar o comportamento assintótico dos termos!

Resposta

A série diverge.

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