Exercício 1.13. Determine se as séries convergem ou divergem.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge. As informações dadas (retiradas do enunciado) são:
- O termo geral da série é um produto crescente no numerador e no denominador. Para
o -ésimo termo pode ser escrito como
- Em forma compacta, usando produto, isso é
A pergunta é: a série
converge ou diverge?
Passo 2
Primeiro vamos escrever uma expressão simples para a razão entre termos consecutivos
e
. Isso costuma ajudar muito quando os termos são produtos encadeados porque muitas fatores se cancelam.
Calculemos
. Pelo formato de
temos que ao passar de
para
aparece apenas um novo fator no numerador e um no denominador. Assim,
Agora simplificamos a expressão:
Passo 3
Vou explicar o teste que vamos usar (o teste da razão) de forma bem direta e intuitiva.
Enunciado do teste da razão (para séries de termos positivos):
- Se existe o limite
e , então a série converge (na verdade, converge absolutamente). - Se
, então a série diverge porque os termos não tendem a zero. - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição rápida: se
tende para um número menor que
, então a sequência dos termos
se comporta como uma progressão geométrica decrescente (aproximadamente
com
), e a soma se parece com uma série geométrica convergente.
Passo 4
Aplicando o teste da razão ao nosso caso, calculamos o limite da razão encontrada:
Para calcular esse limite divide-se numerador e denominador por
:
Portanto o limite é
.
Passo 5
Como o limite da razão entre termos consecutivos é
pelo teste da razão concluímos que a série
converge.
Passo 6
Para tornar a conclusão ainda mais concreta (útil para a prova): a partir de
existe
com
e um
tal que para todo
vale
. Assim para
obtém-se
e a cauda
é majorada por uma série geométrica convergente
. Isso mostra explicitamente a convergência da série original.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).