Exercício 1.13. Determine se as séries convergem ou divergem.
(d) \frac{2}{1}+\frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 5}+\cdots+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots(3 n-1) \cdots}{1 \cdot 5 \cdot 9 \cdots(4 n-3) \cdots}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\frac{2}{1}+\frac{2\cdot5}{1\cdot5}+\frac{2\cdot5\cdot8}{1\cdot5\cdot9}+\cdots
converge ou diverge. As informações dadas (retiradas do enunciado) são:
  • O termo geral da série é um produto crescente no numerador e no denominador. Para n\ge1 o n-ésimo termo pode ser escrito como
a_n=\frac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n-1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n-3)}.
  • Em forma compacta, usando produto, isso é
a_n=\frac{\prod_{k=1}^n (3k-1)}{\prod_{k=1}^n (4k-3)}.
A pergunta é: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge ou diverge?

Passo 2

Primeiro vamos escrever uma expressão simples para a razão entre termos consecutivos a_{n+1} e a_n. Isso costuma ajudar muito quando os termos são produtos encadeados porque muitas fatores se cancelam.
Calculemos \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Pelo formato de a_n temos que ao passar de n para n+1 aparece apenas um novo fator no numerador e um no denominador. Assim,
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3(n+1)-1}{4(n+1)-3}.
Agora simplificamos a expressão:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3n+2}{4n+1}.

Passo 3

Vou explicar o teste que vamos usar (o teste da razão) de forma bem direta e intuitiva.
Enunciado do teste da razão (para séries de termos positivos):
  • Se existe o limite \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} e L<1, então a série \sum a_n converge (na verdade, converge absolutamente).
  • Se L>1, então a série diverge porque os termos não tendem a zero.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição rápida: se \dfrac{a_{n+1}}{a_n} tende para um número menor que 1, então a sequência dos termos a_n se comporta como uma progressão geométrica decrescente (aproximadamente \mathrm{const}\cdot r^n com r<1), e a soma se parece com uma série geométrica convergente.

Passo 4

Aplicando o teste da razão ao nosso caso, calculamos o limite da razão encontrada:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{4n+1}.
Para calcular esse limite divide-se numerador e denominador por n:
\lim_{n\to\infty}\frac{3+\tfrac{2}{n}}{4+\tfrac{1}{n}}=\frac{3+0}{4+0}=\frac{3}{4}.
Portanto o limite é \dfrac{3}{4}.

Passo 5

Como o limite da razão entre termos consecutivos é
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{4}<1,
pelo teste da razão concluímos que a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge.

Passo 6

Para tornar a conclusão ainda mais concreta (útil para a prova): a partir de \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to \tfrac{3}{4} existe r com \tfrac{3}{4}<r<1 e um N tal que para todo n\ge N vale \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le r. Assim para m\ge N obtém-se
a_m \le a_N\, r^{\,m-N},
e a cauda \sum_{m=N}^\infty a_m é majorada por uma série geométrica convergente a_N\sum_{j=0}^\infty r^j. Isso mostra explicitamente a convergência da série original.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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