Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações importantes extraídas do enunciado:
- O termo geral, tomando
, é
- Observando os primeiros termos: para
obtém-se , para obtém-se , etc., então o índice natural começa em . - Podemos simplificar algebricamente o denominador do termo geral; essa simplificação é informação útil para resolver a questão (aqui apenas listando a informação, sem resolver ainda).
Passo 2
Vou escolher um método: simplificar o termo geral e procurar uma decomposição que torne a soma telescópica. Justificativa curta e amiga: telescopar é a maneira mais direta aqui porque dá a soma exata da série e mostra claramente se ela converge. Como alternativa (apenas nota), poderia-se comparar com uma
-série para testar convergência; isso confirma o resultado, mas não dá a soma exata. Agora vamos ao uso concreto dessa ideia.
Passo 3
Simplificar o termo geral. Desenvolvendo o denominador:
Portanto o termo geral fica
Explicação do porquê isso ajuda: fatorar o denominador em produtos simples costuma permitir decomposição em frações parciais do tipo
, o que pode gerar cancelamentos na soma (telescopia).
Passo 4
Fazer a decomposição em frações parciais. Procuramos
e
tais que
Colocando no mesmo denominador:
Comparando numeradores:
Isto deve valer para todo
, então os coeficientes satisfazem o sistema
Da segunda equação vem
. Da primeira vem
. Assim:
Comentário didático: esse tipo de decomposição é muito padrão — a ideia é escrever a função racional como soma de termos simples que, ao somar muitos deles, se cancelam.
Passo 5
Construir a soma parcial e mostrar o cancelamento (telescopia). A soma dos
primeiros termos é
Vamos escrever explicitamente alguns termos para ver o cancelamento:
Explicando o cancelamento: os termos
aparecem com sinal positivo em alguns somandos e com sinal negativo em outros, e se anulam em pares, restando apenas os dois primeiros positivos e os dois últimos negativos.
Portanto
Passo 6
Tomar o limite quando
para decidir sobre convergência e obter a soma. Como
segue
Conclusão: a série converge e sua soma é
.
Passo 7
Comentário extra (útil para a prova): se a pessoa não enxergar a telescopia, uma verificação rápida de convergência é comparar com uma
-série. Para
grande,
e como a série
(com
) converge, a comparação (ou o teste do limite) também garante que a série converge. Porém essa abordagem não dá a soma exata; a decomposição parcial + telescopio é preferível quando se quer a soma.
Resposta
A série converge e tem soma
.