Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem.
\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^{2}-1}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^{2}-1}+\cdots
converge ou diverge. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral, tomando n=1,2,3,\dots, é
a_n=\frac{1}{(n+1)^{2}-1}.
  • Observando os primeiros termos: para n=1 obtém-se \dfrac{1}{3}, para n=2 obtém-se \dfrac{1}{8}, etc., então o índice natural começa em n=1.
  • Podemos simplificar algebricamente o denominador do termo geral; essa simplificação é informação útil para resolver a questão (aqui apenas listando a informação, sem resolver ainda).

Passo 2

Vou escolher um método: simplificar o termo geral e procurar uma decomposição que torne a soma telescópica. Justificativa curta e amiga: telescopar é a maneira mais direta aqui porque dá a soma exata da série e mostra claramente se ela converge. Como alternativa (apenas nota), poderia-se comparar com uma p-série para testar convergência; isso confirma o resultado, mas não dá a soma exata. Agora vamos ao uso concreto dessa ideia.

Passo 3

Simplificar o termo geral. Desenvolvendo o denominador:
(n+1)^{2}-1 = n^{2}+2n+1-1 = n^{2}+2n = n(n+2).
Portanto o termo geral fica
a_n=\frac{1}{n(n+2)}.
Explicação do porquê isso ajuda: fatorar o denominador em produtos simples costuma permitir decomposição em frações parciais do tipo \dfrac{A}{n}+\dfrac{B}{n+2}, o que pode gerar cancelamentos na soma (telescopia).

Passo 4

Fazer a decomposição em frações parciais. Procuramos A e B tais que
\frac{1}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}.
Colocando no mesmo denominador:
\frac{1}{n(n+2)}=\frac{A(n+2)+Bn}{n(n+2)}.
Comparando numeradores:
1 = A(n+2)+Bn = (A+B)n + 2A.
Isto deve valer para todo n, então os coeficientes satisfazem o sistema
A+B=0,\qquad 2A=1.
Da segunda equação vem A=\dfrac{1}{2}. Da primeira vem B=-A=-\dfrac{1}{2}. Assim:
\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right).
Comentário didático: esse tipo de decomposição é muito padrão — a ideia é escrever a função racional como soma de termos simples que, ao somar muitos deles, se cancelam.

Passo 5

Construir a soma parcial e mostrar o cancelamento (telescopia). A soma dos N primeiros termos é
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right).
Vamos escrever explicitamente alguns termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right) &=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+2}\right)\\\ &= \frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}. \end{aligned}
Explicando o cancelamento: os termos \dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dots,\dfrac{1}{N} aparecem com sinal positivo em alguns somandos e com sinal negativo em outros, e se anulam em pares, restando apenas os dois primeiros positivos e os dois últimos negativos.
Portanto
S_N=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right).

Passo 6

Tomar o limite quando N\to\infty para decidir sobre convergência e obter a soma. Como
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+1}=0\qquad\text{e}\qquad \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+2}=0,
segue
\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}.
Conclusão: a série converge e sua soma é \dfrac{3}{4}.

Passo 7

Comentário extra (útil para a prova): se a pessoa não enxergar a telescopia, uma verificação rápida de convergência é comparar com uma p-série. Para n grande,
\frac{1}{n(n+2)}\sim\frac{1}{n^{2}},
e como a série \sum \dfrac{1}{n^{2}} (com p=2>1) converge, a comparação (ou o teste do limite) também garante que a série converge. Porém essa abordagem não dá a soma exata; a decomposição parcial + telescopio é preferível quando se quer a soma.

Resposta

A série converge e tem soma \dfrac{3}{4}.

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