Exercício 13 - Ponto fixo - existência e unicidade
Para cada função
, determine: (i) se existe ponto fixo em
(use o Teorema de Brouwer); (ii) se o ponto fixo é único (use o Teorema da Contração); (iii) se a iteração
converge.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo
.\n
Pede-se:
Pede-se:
- (i) determinar se existe ponto fixo em
(usar o Teorema de Brouwer); - (ii) determinar se o ponto fixo é único (usar o Teorema da Contração);
- (iii) verificar se a iteração
converge.\n
Informações numéricas úteis extraídas da função: -
-
Passo 2
Verificar a continuidade de
em
e se
— isso é o que precisamos para aplicar o Teorema de Brouwer (versão unidimensional: uma função contínua que leva um intervalo fechado em si mesmo tem pelo menos um ponto fixo).\n
- A função
é uma razão de polinômios; é contínua sempre que o denominador . No intervalo temos , logo é contínua em .\n - Como
é contínua e calculamos os extremos em : e . Para saber os valores mínimo e máximo no intervalo, é útil ver a monotonicidade: calculemos a derivada (no próximo passo mostraremos o sinal). Porém com os valores das extremidades já se vê que toma valores entre aproximadamente e , ou seja \n
Portanto, as hipóteses do Teorema de Brouwer estão satisfeitas (continuidade eme imagem contida em ), o que garante a existência de pelo menos um ponto fixo em .
Passo 3
Agora vamos estudar unicidade usando o Teorema da Contração (Teorema de Banach). A versão prática que usamos: se existir
tal que
para todo
, então
é uma contração em
, o que garante unicidade do ponto fixo e convergência da iteração para ele (a partir de qualquer
em
). Vou explicar e aplicar passo a passo.\n
- Calcular a derivada de
:
Aqui cada símbolo significa:
é a derivada de
no ponto
; o sinal negativo vem da regra da derivada de
e o quadrado aparece pelo denominador.\n
2) Valor absoluto da derivada:
2) Valor absoluto da derivada:
Essa função de
é decrescente em
no intervalo considerado, porque o denominador
aumenta com
. Logo o máximo de
em
ocorre em
.\n
3) Avaliar o máximo:
3) Avaliar o máximo:
Assim podemos tomar
. Portanto
para todo
, ou seja
é uma contração em
.\n
Conclusão deste passo: por ser uma contração em ,
tem exatamente um ponto fixo em
(unicidade garantida pelo Teorema da Contração). Além disso, a própria teoria da contração garante que a iteração
converge para esse único ponto fixo para qualquer
, com taxa geométrica dominada por
.
Conclusão deste passo: por ser uma contração em
Passo 4
É didático também identificar explicitamente o ponto fixo (vai facilitar conferir no gabarito e na prova). O ponto fixo
satisfaz
\n
Resolver:
Resolver:
Desenvolvendo:
Aplicando a fórmula quadrática:
As duas raízes são
e
. Numéricamente,
e
.\n
Como o ponto fixo deve estar em , escolhemos
Como o ponto fixo deve estar em
Passo 5
Resumo didático sobre convergência da iteração: já que
é contração em
com constante
, a sequência definida por
converge geometricamente para o único ponto fixo
para qualquer
. Uma estimativa de erro típica (útil na prova) é:
Isto significa que o erro diminui aproximadamente um fator
a cada iteração — converge rápido.\n
Conclusão prática: existe ponto fixo em , ele é único e a iteração converge para ele a partir de qualquer início em
.
Conclusão prática: existe ponto fixo em
Resposta
(i) Sim — existe pelo Teorema de Brouwer (continuidade em
e
).
(ii) Sim — é único, pois em
(Teorema da Contração).
(iii) Sim — a iteração converge para o único ponto fixo para qualquer
.
(ii) Sim — é único, pois
(iii) Sim — a iteração converge para o único ponto fixo