Exercício 13 - Ponto fixo - existência e unicidade
Para cada função g, determine: (i) se existe ponto fixo em a, b (use o Teorema de Brouwer); (ii) se o ponto fixo é único (use o Teorema da Contração); (iii) se a iteração x_{k+1}=g\left(x_{k}\right) converge.
g(x)=\frac{10}{x+4}, \quad[1,5]

Passo 1

O enunciado dá a função \,g(x)=\dfrac{10}{x+4}\, e o intervalo \,[1,5].\n
Pede-se:
  • (i) determinar se existe ponto fixo em [1,5] (usar o Teorema de Brouwer);
  • (ii) determinar se o ponto fixo é único (usar o Teorema da Contração);
  • (iii) verificar se a iteração \,x_{k+1}=g(x_k)\, converge.\n
    Informações numéricas úteis extraídas da função:
  • \,g(1)=\dfrac{10}{1+4}=\dfrac{10}{5}=2\,.
  • \,g(5)=\dfrac{10}{5+4}=\dfrac{10}{9}\approx1{,}111\ldots\,.

Passo 2

Verificar a continuidade de \,g em [1,5] e se \,g([1,5])\subseteq[1,5] — isso é o que precisamos para aplicar o Teorema de Brouwer (versão unidimensional: uma função contínua que leva um intervalo fechado em si mesmo tem pelo menos um ponto fixo).\n
  • A função \,g(x)=\dfrac{10}{x+4}\, é uma razão de polinômios; é contínua sempre que o denominador (x+4)\neq0. No intervalo [1,5] temos x+4\ge1+4=5\neq0, logo \,g é contínua em [1,5].\n
  • Como \,g é contínua e calculamos os extremos em [1,5]: \,g(1)=2 e \,g(5)=\dfrac{10}{9}\approx1{,}111\ldots. Para saber os valores mínimo e máximo no intervalo, é útil ver a monotonicidade: calculemos a derivada (no próximo passo mostraremos o sinal). Porém com os valores das extremidades já se vê que g(x) toma valores entre aproximadamente 1{,}111\ldots e 2, ou seja \,g([1,5])\subseteq\left[\dfrac{10}{9},2\right]\subseteq[1,5].\n
    Portanto, as hipóteses do Teorema de Brouwer estão satisfeitas (continuidade em [1,5] e imagem contida em [1,5]), o que garante a existência de pelo menos um ponto fixo em [1,5].

Passo 3

Agora vamos estudar unicidade usando o Teorema da Contração (Teorema de Banach). A versão prática que usamos: se existir L\in[0,1) tal que \,|g'(x)|\le L para todo x\in[1,5], então g é uma contração em [1,5], o que garante unicidade do ponto fixo e convergência da iteração para ele (a partir de qualquer x_0 em [1,5]). Vou explicar e aplicar passo a passo.\n
  1. Calcular a derivada de \,g:
g'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{10}{x+4}\right)=-\frac{10}{(x+4)^2}.
Aqui cada símbolo significa: \,g'(x)\, é a derivada de g no ponto x; o sinal negativo vem da regra da derivada de 1/(x+4) e o quadrado aparece pelo denominador.\n
2) Valor absoluto da derivada:
|g'(x)|=\frac{10}{(x+4)^2}.
Essa função de x é decrescente em x no intervalo considerado, porque o denominador (x+4)^2 aumenta com x. Logo o máximo de |g'(x)| em [1,5] ocorre em x=1.\n
3) Avaliar o máximo:
|g'(1)|=\frac{10}{(1+4)^2}=\frac{10}{25}=0{,}4.
Assim podemos tomar L=0{,}4<1. Portanto |g'(x)|\le 0{,}4 para todo x\in[1,5], ou seja g é uma contração em [1,5].\n
Conclusão deste passo: por ser uma contração em [1,5], g tem exatamente um ponto fixo em [1,5] (unicidade garantida pelo Teorema da Contração). Além disso, a própria teoria da contração garante que a iteração \,x_{k+1}=g(x_k)\, converge para esse único ponto fixo para qualquer x_0\in[1,5], com taxa geométrica dominada por L=0{,}4.

Passo 4

É didático também identificar explicitamente o ponto fixo (vai facilitar conferir no gabarito e na prova). O ponto fixo x^* satisfaz \,x^*=g(x^*)=\dfrac{10}{x^*+4}\,.\n
Resolver:
x^*=\frac{10}{x^*+4}\quad\Longrightarrow\quad x^*(x^*+4)=10.
Desenvolvendo:
(x^*)^2+4x^*-10=0.
Aplicando a fórmula quadrática:
x^*=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-10)}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{16+40}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{56}}{2}=-2\pm\sqrt{14}.
As duas raízes são \,-2+\sqrt{14}\, e \,-2-\sqrt{14}\,. Numéricamente,
\,-2+\sqrt{14}\approx1{,}741657\ldots e \,-2-\sqrt{14}\approx-5{,}741657\ldots.\n
Como o ponto fixo deve estar em [1,5], escolhemos
x^*=-2+\sqrt{14}\approx1{,}741657\ldots.

Passo 5

Resumo didático sobre convergência da iteração: já que g é contração em [1,5] com constante L=0{,}4, a sequência definida por \,x_{k+1}=g(x_k)\, converge geometricamente para o único ponto fixo x^*=-2+\sqrt{14} para qualquer x_0\in[1,5]. Uma estimativa de erro típica (útil na prova) é:
|x_k-x^*|\le L^k |x_0-x^*|\quad\text{(variações desta estimativa também são usadas)}.çõéã
Isto significa que o erro diminui aproximadamente um fator 0{,}4 a cada iteração — converge rápido.\n
Conclusão prática: existe ponto fixo em [1,5], ele é único e a iteração converge para ele a partir de qualquer início em [1,5].

Resposta

(i) Sim — existe pelo Teorema de Brouwer (continuidade em [1,5] e \,g([1,5])\subseteq[1,5]).
(ii) Sim — é único, pois |g'(x)|\le0{,}4<1 em [1,5] (Teorema da Contração).
(iii) Sim — a iteração converge para o único ponto fixo x^*=-2+\sqrt{14}\approx1{,}741657 para qualquer x_0\in[1,5].

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