Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem:
(f) \quad \frac{1}{2}+\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+\frac{1 \cdot 5 \cdots(4 n-3)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots(4 n-4)(4 n-2)}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\frac{1}{2}+\frac{1\cdot5}{2\cdot4\cdot6}+\cdots+\frac{1\cdot5\cdots(4n-3)}{2\cdot4\cdot6\cdots(4n-4)(4n-2)}+\cdots
converge ou diverge. Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O termo geral (o n-ésimo termo) pode ser escrito como um quociente de produtos: no numerador temos os n fatores \,1,5,9,\dots,4n-3, e no denominador temos os 2n-1 fatores pares \,2,4,6,\dots,4n-2.
  • Os termos são positivos para todo n.
    O objetivo é decidir convergência da soma desses termos.

Passo 2

Vamos escrever o n-ésimo termo de forma clara com notação de produto. Defina
a_n=\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(4k-3)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{2n-1}(2k)}.
Verificação rápida dos primeiros termos (para ganhar confiança):
  • Para n=1: \displaystyle a_1=\frac{4\cdot1-3}{2\cdot1}=\frac{1}{2}, que corresponde ao primeiro termo dado.
  • Para n=2: \displaystyle a_2=\frac{(1)(5)}{2\cdot4\cdot6}, que corresponde ao segundo termo dado.
    Tudo bate, então essa é a fórmula correta para o termo geral.

Passo 3

Vamos escolher um método. Uma escolha natural quando há produtos e termos que se relacionam entre si é usar o Teste da Razão (ratio test), porque ele compara a_{n+1} com a_n e tende a simplificar muitos fatores em produtos telescópicos. Vou enunciar o teste rapidamente (em linguagem amigável):
  • Teste da Razão: se \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} existe e L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente. Se L>1 diverge. Se L=1 o teste é inconclusivo.
    Como os termos são positivos, aplicar este teste é apropriado.

Passo 4

Calculemos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Primeiro escrevemos a_{n+1} em função de a_n:
  • O numerador de a_{n+1} é \prod_{k=1}^{n+1}(4k-3)=\bigl(\prod_{k=1}^{n}(4k-3)\bigr)\cdot(4(n+1)-3). Ou seja, o novo fator que aparece no numerador é 4n+1.
  • O denominador de a_{n+1} é \prod_{k=1}^{2(n+1)-1}(2k)=\prod_{k=1}^{2n+1}(2k). Comparando com \prod_{k=1}^{2n-1}(2k), aparecem dois fatores novos: 2(2n) e 2(2n+1), isto é, 4n e 4n+2.
    Portanto,
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{( \prod_{k=1}^{n}(4k-3) )\,(4n+1)}{( \prod_{k=1}^{2n-1}(2k) )\,(4n)(4n+2)} \cdot\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{2n-1}(2k)}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(4k-3)} =\frac{4n+1}{(4n)(4n+2)}.

Passo 5

Simplifiquemos a expressão e calculemos o limite quando n\to\infty. Temos
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4n+1}{(4n)(4n+2)}.
Para ver o comportamento quando n grande, divida numerador e denominador por n^2 (ou apenas observe graus):
\frac{4n+1}{(4n)(4n+2)}=\frac{4+\tfrac{1}{n}}{16+8\tfrac{1}{n}}.
Agora faça n\to\infty. Como \tfrac{1}{n}\to0, obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.
Observação: se preferir, também se nota imediatamente que o numerador é de ordem n e o denominador de ordem n^2, então a razão tende a 0; a fórmula exata dá \tfrac{1}{4} após simplificação cuidadosa — reforço: recalculemos brevemente para evitar confusão. Tomando
\frac{4n+1}{(4n)(4n+2)}=\frac{4n+1}{16n^2+8n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{4+\tfrac{1}{n}}{16+8\tfrac{1}{n}}\to 0.
Percebe-se aqui uma inconsistência aparente entre as duas estimativas; vamos corrigir isso: desenvolvendo corretamente,
(4n)(4n+2)=16n^2+8n,
logo para grandes n
\frac{4n+1}{16n^2+8n}\sim\frac{4n}{16n^2}=\frac{1}{4n}\to0.
Portanto o limite é 0. (A forma anterior que dava \tfrac{1}{4} incorreu em divisão incorreta por n^2 sem ajustar corretamente; a forma final e consistente mostra que o limite é 0.)

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão: como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=0<1,
conclui-se que a série \sum_{n=1}^\infty a_n converge absolutamente. Como todos os termos são positivos, dizer que converge absolutamente equivale a dizer que converge.

Passo 7

Resumo intuitivo e motivação: a razão entre termos sucessivos cai como algo da ordem de 1/n para grandes n, isto é, os termos diminuem muito rapidamente; por isso a soma das parcelas dá um número finito. Não precisa decorar nada além do Teste da Razão e do cuidado em calcular corretamente a_{n+1}/a_n.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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