Exercício 1.14. Determine se as séries convergem ou divergem:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes que o enunciado dá:
- O termo geral (o
-ésimo termo) pode ser escrito como um quociente de produtos: no numerador temos os fatores , e no denominador temos os fatores pares . - Os termos são positivos para todo
.
O objetivo é decidir convergência da soma desses termos.
Passo 2
Vamos escrever o
-ésimo termo de forma clara com notação de produto. Defina
Verificação rápida dos primeiros termos (para ganhar confiança):
- Para
: , que corresponde ao primeiro termo dado. - Para
: , que corresponde ao segundo termo dado.
Tudo bate, então essa é a fórmula correta para o termo geral.
Passo 3
Vamos escolher um método. Uma escolha natural quando há produtos e termos que se relacionam entre si é usar o Teste da Razão (ratio test), porque ele compara
com
e tende a simplificar muitos fatores em produtos telescópicos. Vou enunciar o teste rapidamente (em linguagem amigável):
- Teste da Razão: se
existe e , então a série converge absolutamente. Se diverge. Se o teste é inconclusivo.
Como os termos são positivos, aplicar este teste é apropriado.
Passo 4
Calculemos a razão
. Primeiro escrevemos
em função de
:
- O numerador de
é . Ou seja, o novo fator que aparece no numerador é . - O denominador de
é . Comparando com , aparecem dois fatores novos: e , isto é, e .
Portanto,
Passo 5
Simplifiquemos a expressão e calculemos o limite quando
. Temos
Para ver o comportamento quando
grande, divida numerador e denominador por
(ou apenas observe graus):
Agora faça
. Como
, obtemos
Observação: se preferir, também se nota imediatamente que o numerador é de ordem
e o denominador de ordem
, então a razão tende a
; a fórmula exata dá
após simplificação cuidadosa — reforço: recalculemos brevemente para evitar confusão. Tomando
Percebe-se aqui uma inconsistência aparente entre as duas estimativas; vamos corrigir isso: desenvolvendo corretamente,
logo para grandes
Portanto o limite é
. (A forma anterior que dava
incorreu em divisão incorreta por
sem ajustar corretamente; a forma final e consistente mostra que o limite é
.)
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão: como
conclui-se que a série
converge absolutamente. Como todos os termos são positivos, dizer que converge absolutamente equivale a dizer que converge.
Passo 7
Resumo intuitivo e motivação: a razão entre termos sucessivos cai como algo da ordem de
para grandes
, isto é, os termos diminuem muito rapidamente; por isso a soma das parcelas dá um número finito. Não precisa decorar nada além do Teste da Razão e do cuidado em calcular corretamente
.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).