Exercício 14 - Funções de iteração para x^{2}+x-6=0

A equação f(x)=x^{2}+x-6=0 admite as raízes \xi_{1}=-3 e \xi_{2}=2.
(a) Calcule \varphi_{i}^{\prime}(x) e avalie \left|\varphi_{i}^{\prime}\left(\xi_{2}\right)\right| para cada função abaixo. Decida se a iteração converge.
\begin{array}{ll} \varphi_{1}(x)=6-x^{2} & \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x} \\\ \varphi_{3}(x)=\frac{6}{x}-1 & \varphi_{4}(x)=\frac{6}{x+1} \end{array}
(b) Para as funções convergentes, execute \mathbf{5} iterações a partir de x_{0}=2,5, organizando os resultados em tabela com colunas k, x_{k},\left|x_{k}-x_{k-1}\right|,\left|f\left(x_{k}\right)\right|.
(c) Repita o item (b) para \xi_{1}=-3, usando x_{0}=-2,5. Quais funções convergem agora?

Passo 1

O enunciado dá a equação f(x)=x^{2}+x-6=0 com raízes \xi_{1}=-3 e \xi_{2}=2. Pede três coisas:
  • (a) Para cada \varphi_{i} calcular \varphi_{i}'(x) e avaliar \left|\varphi_{i}'(\xi_{2})\right|; decidir se a iteração de ponto fixo x_{k+1}=\varphi_{i}(x_{k}) converge localmente para \xi_{2}=2.
  • (b) Para as funções que convergirem a \xi_{2}, executar 5 iterações a partir de x_{0}=2{,}5 e montar tabela com colunas k,\\ x_{k},\\ |x_{k}-x_{k-1}|,\\ |f(x_{k})|.
  • (c) Repetir (b) para a raiz \xi_{1}=-3 usando x_{0}=-2{,}5; dizer quais funções convergem agora (e para as que convergirem, fazer 5 iterações e tabela).
Informações relevantes que usarei:
  • As quatro funções: \varphi_{1}(x)=6-x^{2},\qquad \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x},\qquad \varphi_{3}(x)=\frac{6}{x}-1,\qquad \varphi_{4}(x)=\frac{6}{x+1}.
  • A regra prática de convergência local para iteração de ponto fixo: se \varphi é contínua e diferenciável próximo de um ponto fixo \xi e \left|\varphi'(\xi)\right|<1, então a iteração converge localmente para \xi. Se \left|\varphi'(\xi)\right|>1, normalmente diverge. Se igual a 1 é inconclusivo.
  • Vou calcular derivadas, avaliar em \xi_{2}=2 (para (a)) e em \xi_{1}=-3 (para (c)), e executar as iterações nos casos indicados.

Passo 2

Explicando a ideia da condição \left|\varphi'(\xi)\right|<1 (mini-aula):
  • A iteração x_{k+1}=\varphi(x_{k}) tem \xi como ponto fixo se \varphi(\xi)=\xi.
  • Linearizando \varphi em torno de \xi: para x próximo de \xi, \varphi(x)\approx \varphi(\xi)+\varphi'(\xi)\,(x-\xi)=\xi+\varphi'(\xi)\,(x-\xi).Assim o erro e_{k}=x_{k}-\xi evolui aproximadamente como e_{k+1}\approx \varphi'(\xi)\,e_{k}. Se |\varphi'(\xi)|<1, o erro tende a zero geometricamente; se |\varphi'(\xi)|>1 o erro cresce.
  • Observação prática: isto é uma condição suficiente (não necessária), e exige que \varphi de fato tenha \xi como ponto fixo (isto é, \varphi(\xi)=\xi). Algumas formulações de \varphi com raiz negativa podem não preservar o sinal (ex.: raiz quadrada principal), então cuidado com domínio/ramo da função.

Passo 3

Calcular as derivadas simbólicas \varphi_{i}'(x):
  • Para \varphi_{1}(x)=6-x^{2}: \varphi_{1}'(x)=-2x.
  • Para \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x}: usar regra da cadeia. Escrever \varphi_{2}(x)=(6-x)^{1/2}. Então \varphi_{2}'(x)=\tfrac{1}{2}(6-x)^{-1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2\sqrt{6-x}}.Observação: \varphi_{2} é a raiz quadrada principal, sempre não negativa; domínio real exige 6-x\ge0 (ou seja x\le6).
  • Para \varphi_{3}(x)=\dfrac{6}{x}-1: \varphi_{3}'(x)=-\frac{6}{x^{2}}.
  • Para \varphi_{4}(x)=\dfrac{6}{x+1}: \varphi_{4}'(x)=-\frac{6}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Avaliar \left|\varphi_{i}'(\xi_{2})\right| em \xi_{2}=2 e decidir convergência local:
  • Para \varphi_{1}: \varphi_{1}'(2)=-2\cdot 2=-4,\quad \left|\varphi_{1}'(2)\right|=4>1.Conclusão: iteração não converge para \xi_{2}=2 (decorrência esperada).
  • Para \varphi_{2}: \varphi_{2}'(2)=-\frac{1}{2\sqrt{6-2}}=-\frac{1}{2\sqrt{4}}=-\frac{1}{4},\quad \left|\varphi_{2}'(2)\right|=\tfrac{1}{4}<1.Conclusão: converge localmente para \xi_{2}=2 (desde que se tome a raiz positiva; e \varphi_{2}(2)=2 de fato).
  • Para \varphi_{3}: \varphi_{3}'(2)=-\frac{6}{2^{2}}=-\frac{6}{4}=-\tfrac{3}{2},\quad \left|\varphi_{3}'(2)\right|=\tfrac{3}{2}>1.Conclusão: não converge para \xi_{2}=2.
  • Para \varphi_{4}: \varphi_{4}'(2)=-\frac{6}{(2+1)^{2}}=-\frac{6}{9}=-\tfrac{2}{3},\quad \left|\varphi_{4}'(2)\right|=\tfrac{2}{3}<1.Conclusão: converge localmente para \xi_{2}=2.
Resumo rápido: entre as quatro, \varphi_{2} e \varphi_{4} têm \left|\varphi'(\,2)\right|<1 e portanto convergem localmente para 2; \varphi_{1} e \varphi_{3} não.

Passo 5

Antes de iterar: explico um truque útil que facilita cálculos para \varphi_{2}.
  • Se x_{k+1}=\varphi_{2}(x_{k})=\sqrt{6-x_{k}}, então x_{k+1}^{2}=6-x_{k}. Daí f(x_{k+1})=x_{k+1}^{2}+x_{k+1}-6=(6-x_{k})+x_{k+1}-6=x_{k+1}-x_{k}.Portanto, para \varphi_{2} temos a igualdade exata |f(x_{k+1})|=|x_{k+1}-x_{k}|.Isso simplifica bastante a tabela: a coluna |f(x_{k})| (para k\ge1) coincidirá com |x_{k}-x_{k-1}|.
Agora executo as iterações pedidas: 5 iterações a partir de x_{0}=2{,}5 para cada função que converge para \xi_{2}=2, isto é, para \varphi_{2} e \varphi_{4}.

Passo 6

Iterações para \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x}, com x_{0}=2{,}5.
Cálculos (aproximações decimais mostradas com 8 casas significativas):
  • x_{0}=2{,}5.
  • x_{1}=\sqrt{6-2{,}5}=\sqrt{3{,}5}=1{,}87082869.
    |x_{1}-x_{0}|=0{,}62917131. Pela relação acima |f(x_{1})|=0{,}62917131.
  • x_{2}=\sqrt{6-x_{1}}=\sqrt{4{,}1291713066}\approx 2{,}03203625.
    |x_{2}-x_{1}|\approx 0{,}16120756. |f(x_{2})|=0{,}16120756.
  • x_{3}=\sqrt{6-x_{2}}\approx 1{,}99197482.
    |x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}04006143. |f(x_{3})|=0{,}04006143.
  • x_{4}=\sqrt{6-x_{3}}\approx 2{,}00200485.
    |x_{4}-x_{3}|\approx 0{,}01003003. |f(x_{4})|=0{,}01003003.
  • x_{5}=\sqrt{6-x_{4}}\approx 1{,}99949867.
    |x_{5}-x_{4}|\approx 0{,}00250618. |f(x_{5})|=0{,}00250618.
Organizando em tabela (colunas k,\\ x_{k},\\ |x_{k}-x_{k-1}|,\\ |f(x_{k})|) para \varphi_{2}:
  • k=0:\\ x_{0}=2{,}5,\\ |x_{0}-x_{-1}|=\text{--},\\ |f(x_{0})|=|2{,}5^{2}+2{,}5-6|=|0{,}25|=0{,}25.
  • k=1:\\ x_{1}=1{,}87082869,\\ |x_{1}-x_{0}|=0{,}62917131,\\ |f(x_{1})|=0{,}62917131.
  • k=2:\\ x_{2}=2{,}03203625,\\ |x_{2}-x_{1}|=0{,}16120756,\\ |f(x_{2})|=0{,}16120756.
  • k=3:\\ x_{3}=1{,}99197482,\\ |x_{3}-x_{2}|=0{,}04006143,\\ |f(x_{3})|=0{,}04006143.
  • k=4:\\ x_{4}=2{,}00200485,\\ |x_{4}-x_{3}|=0{,}01003003,\\ |f(x_{4})|=0{,}01003003.
  • k=5:\\ x_{5}=1{,}99949867,\\ |x_{5}-x_{4}|=0{,}00250618,\\ |f(x_{5})|=0{,}00250618.
(Observação: |f(x_{0})| foi calculado apenas para referência; a relação direta |f(x_{k})|=|x_{k}-x_{k-1}| vale para k\ge1 neste método.)

Passo 7

Iterações para \varphi_{4}(x)=\dfrac{6}{x+1}, com x_{0}=2{,}5.
Aqui vou usar frações exatas quando possível (e mostrar aproximações decimais).
Cálculos exatos e decimais:
  • x_{0}=2{,}5.
  • x_{1}=\dfrac{6}{2{,}5+1}=\dfrac{6}{3{,}5}=\dfrac{12}{7}\approx 1{,}714285714285714.
    |x_{1}-x_{0}|=|12/7-2{,}5|\approx 0{,}785714285714286.
    f(x_{1})=x_{1}^{2}+x_{1}-6=\dfrac{144}{49}+\dfrac{12}{7}-6=\dfrac{144+84-294}{49}=\dfrac{-66}{49}, então |f(x_{1})|=\dfrac{66}{49}\approx 1{,}346938776.
  • x_{2}=\dfrac{6}{x_{1}+1}=\dfrac{6}{12/7+1}=\dfrac{6}{19/7}=\dfrac{42}{19}\approx 2{,}210526315789474.
    |x_{2}-x_{1}|\approx 0{,}496240601503.
    f(x_{2})\approx 1{,}097508287 (aprox).
  • x_{3}=\dfrac{6}{x_{2}+1}=\dfrac{6}{42/19+1}=\dfrac{6}{61/19}=\dfrac{114}{61}\approx 1{,}8688524590163934.
    |x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}3416738567730807.
    f(x_{3})\approx 0{,}638599857.
  • x_{4}=\dfrac{6}{x_{3}+1}=\dfrac{6}{114/61+1}=\dfrac{6}{175/61}=\dfrac{366}{175}\approx 2{,}0914285714285716.
    |x_{4}-x_{3}|\approx 0{,}2225761124121782.
    f(x_{4})=\dfrac{14256}{30625}\approx 0{,}4654285714285714 (valor exato em fração mostrado antes).
  • x_{5}=\dfrac{6}{x_{4}+1}=\dfrac{6}{366/175+1}=\dfrac{6}{541/175}=\dfrac{1050}{541}\approx 1{,}9408502771911297.
    |x_{5}-x_{4}|\approx 0{,}1505782942374419.
    f(x_{5}) calculado em frações dá |f(x_{5})|=\dfrac{85536}{292681}\approx 0{,}292285.
Organizando tabela (aproximações):
  • k=0:\\ x_{0}=2{,}5,\\ |f(x_{0})|=0{,}25.
  • k=1:\\ x_{1}=12/7\approx 1{,}7142857143,\\ |x_{1}-x_{0}|\approx 0{,}7857142857,\\ |f(x_{1})|\approx 1{,}346938776.
  • k=2:\\ x_{2}=42/19\approx 2{,}2105263158,\\ |x_{2}-x_{1}|\approx 0{,}4962406015,\\ |f(x_{2})|\approx 1{,}097508287.
  • k=3:\\ x_{3}=114/61\approx 1{,}8688524590,\\ |x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}3416738568,\\ |f(x_{3})|\approx 0{,}638599857.
  • k=4:\\ x_{4}=366/175\approx 2{,}0914285714,\\ |x_{4}-x_{3}|\approx 0{,}2225761124,\\ |f(x_{4})|\approx 0{,}4654285714.
  • k=5:\\ x_{5}=1050/541\approx 1{,}9408502772,\\ |x_{5}-x_{4}|\approx 0{,}1505782942,\\ |f(x_{5})|\approx 0{,}292285.
Observação: \varphi_{4} converge para 2 também, com oscilações (passa acima e abaixo) e diferenças decrescentes.

Passo 8

Agora (item (c)) repetir a análise para a raiz \xi_{1}=-3 (a partir de x_{0}=-2{,}5).
Primeiro, avaliar \left|\varphi_{i}'(\xi_{1})\right| e verificar se \varphi_{i}(\xi_{1})=\xi_{1} (ponto fixo):
  • \varphi_{1}'(x)=-2x \varphi_{1}'(-3)=-2(-3)=6,\\ \left|\varphi_{1}'(-3)\right|=6>1. Além disso \varphi_{1}(-3)=6-(-3)^{2}=6-9=-3, então -3 é fixo de \varphi_{1} mas a derivada maior que 1 indica divergência local.
  • \varphi_{2}(-3)=\sqrt{6-(-3)}=\sqrt{9}=3\neq -3. Assim \varphi_{2} NÃO tem -3 como ponto fixo, porque \varphi_{2} usa a raiz quadrada principal (não negativa). Mesmo que a derivada formal \varphi_{2}'(-3)=-\tfrac{1}{6} tenha magnitude menor que 1, isso é irrelevante: \varphi_{2} não pode convergir para -3 pois suas imagens são não negativas. Conclusão: \varphi_{2} não converge para -3.
  • \varphi_{3}'(-3)=-\dfrac{6}{(-3)^{2}}=-\dfrac{6}{9}=-\tfrac{2}{3},\\ \left|\varphi_{3}'(-3)\right|=\tfrac{2}{3}<1. Além disso \varphi_{3}(-3)=\dfrac{6}{-3}-1=-2-1=-3, então -3 é ponto fixo de \varphi_{3} e a condição |\varphi_{3}'(-3)|<1 indica convergência local para -3.
  • \varphi_{4}'(-3)=-\dfrac{6}{(-3+1)^{2}}=-\dfrac{6}{4}=-\tfrac{3}{2},\\ \left|\varphi_{4}'(-3)\right|=\tfrac{3}{2}>1. Além disso \varphi_{4}(-3)=\dfrac{6}{-3+1}=\dfrac{6}{-2}=-3, então -3 é fixo de \varphi_{4} mas a derivada com magnitude >1 indica divergência local.
Resumo: apenas \varphi_{3} tem boa condição local para convergir a -3. \varphi_{1} e \varphi_{4} têm |\varphi'(-3)|>1 então divergem; \varphi_{2} não tem -3 como ponto fixo (devido à raiz principal), logo não converge para -3.

Passo 9

Executar 5 iterações para a(s) função(ões) que convergem para \xi_{1}=-3 — neste caso apenas \varphi_{3}(x)=\dfrac{6}{x}-1 — com x_{0}=-2{,}5.
Vou usar frações exatas quando possível (isso facilita calcular f(x) com precisão).
Cálculos:
  • x_{0}=-2{,}5.
  • x_{1}=\dfrac{6}{-2{,}5}-1=\dfrac{6}{-5/2}-1=-\dfrac{12}{5}-1=-\dfrac{17}{5}=-3{,}4.
    |x_{1}-x_{0}|=|-3{,}4-(-2{,}5)|=0{,}9.
    f(x_{1})=(-3{,}4)^{2}+(-3{,}4)-6=11{,}56-3{,}4-6=2{,}16.
  • x_{2}=\dfrac{6}{x_{1}}-1=\dfrac{6}{-17/5}-1=-\dfrac{30}{17}-1=-\dfrac{47}{17}\approx -2{,}764705882352941.
    |x_{2}-x_{1}|\approx 0{,}635294117647059.
    f(x_{2})=\dfrac{(-47)^{2}}{17^{2}}+\left(-\dfrac{47}{17}\right)-6=\dfrac{2209-799-1734}{289}=-\dfrac{324}{289}, logo |f(x_{2})|\approx 1{,}121797.
  • x_{3}=\dfrac{6}{x_{2}}-1=\dfrac{6}{-47/17}-1=-\dfrac{102}{47}-1=-\dfrac{149}{47}\approx -3{,}170212765957447.
    |x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}405506883604506.
    f(x_{3})=\dfrac{22201-7003-13254}{2209}=-\dfrac{56}{2209}, |f(x_{3})|\approx 0{,}025349.
  • x_{4}=\dfrac{6}{x_{3}}-1=\dfrac{6}{-149/47}-1=-\dfrac{282}{149}-1=-\dfrac{431}{149}\approx -2{,}8932885906040268.
    |x_{4}-x_{3}|\approx 0{,}276924175353419.
    f(x_{4})=\dfrac{185761-64219-133206}{22201}=-\dfrac{11664}{22201}, |f(x_{4})|\approx 0{,}525369.
  • x_{5}=\dfrac{6}{x_{4}}-1=\dfrac{6}{-431/149}-1=-\dfrac{894}{431}-1=-\dfrac{1325}{431}\approx -3{,}0742268041237113.
    |x_{5}-x_{4}|\approx 0{,}180938213519684.
    f(x_{5})=\dfrac{1755625-571075-1114566}{185761}=\dfrac{69984}{185761} (sinal positivo neste caso), |f(x_{5})|\approx 0{,}376861.
Organizando tabela (aproximada) para \varphi_{3}, x_{0}=-2{,}5:
  • k=0:\\ x_{0}=-2{,}5,\\ |f(x_{0})|=0{,}25.
  • k=1:\\ x_{1}=-3{,}4,\\ |x_{1}-x_{0}|=0{,}9,\\ |f(x_{1})|=2{,}16.
  • k=2:\\ x_{2}=-47/17\approx -2{,}7647058824,\\ |x_{2}-x_{1}|\approx 0{,}6352941176,\\ |f(x_{2})|\approx 1{,}121797.
  • k=3:\\ x_{3}=-149/47\approx -3{,}1702127660,\\ |x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}4055068836,\\ |f(x_{3})|\approx 0{,}025349.
  • k=4:\\ x_{4}=-431/149\approx -2{,}8932885906,\\ |x_{4}-x_{3}|\approx 0{,}2769241754,\\ |f(x_{4})|\approx 0{,}525369.
  • k=5:\\ x_{5}=-1325/431\approx -3{,}0742268041,\\ |x_{5}-x_{4}|\approx 0{,}1809382135,\\ |f(x_{5})|\approx 0{,}376861.
Note que os valores oscilam em torno de -3 mas as diferenças |x_{k}-x_{k-1}| tendem a diminuir (com comportamento oscilatório), o que é compatível com convergência local (derivada em magnitude <1).

Resposta

(a) Derivadas e avaliações em \xi_{2}=2 e conclusão de convergência:
  • \varphi_{1}'(x)=-2x. \varphi_{1}'(2)=-4,\\ \left|\varphi_{1}'(2)\right|=4>1. Não converge para 2.
  • \varphi_{2}'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{6-x}}. \varphi_{2}'(2)=-\dfrac{1}{4},\\ \left|\varphi_{2}'(2)\right|=\tfrac{1}{4}<1. Converge para 2.
  • \varphi_{3}'(x)=-\dfrac{6}{x^{2}}. \varphi_{3}'(2)=-\tfrac{3}{2},\\ \left|\varphi_{3}'(2)\right|=\tfrac{3}{2}>1. Não converge para 2.
  • \varphi_{4}'(x)=-\dfrac{6}{(x+1)^{2}}. \varphi_{4}'(2)=-\tfrac{2}{3},\\ \left|\varphi_{4}'(2)\right|=\tfrac{2}{3}<1. Converge para 2.
(b) Iterações a partir de x_{0}=2{,}5:
Para \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x}:
  • k=0:\\ x_{0}=2{,}5,\\ |f(x_{0})|=0{,}25.
  • k=1:\\ x_{1}=1{,}87082869,\\ |x_{1}-x_{0}|=0{,}62917131,\\ |f(x_{1})|=0{,}62917131.
  • k=2:\\ x_{2}=2{,}03203625,\\ |x_{2}-x_{1}|=0{,}16120756,\\ |f(x_{2})|=0{,}16120756.
  • k=3:\\ x_{3}=1{,}99197482,\\ |x_{3}-x_{2}|=0{,}04006143,\\ |f(x_{3})|=0{,}04006143.
  • k=4:\\ x_{4}=2{,}00200485,\\ |x_{4}-x_{3}|=0{,}01003003,\\ |f(x_{4})|=0{,}01003003.
  • k=5:\\ x_{5}=1{,}99949867,\\ |x_{5}-x_{4}|=0{,}00250618,\\ |f(x_{5})|=0{,}00250618.
Para \varphi_{4}(x)=\dfrac{6}{x+1}:
  • k=0:\\ x_{0}=2{,}5,\\ |f(x_{0})|=0{,}25.
  • k=1:\\ x_{1}=\dfrac{12}{7}\approx 1{,}7142857143,\\ |x_{1}-x_{0}|\approx 0{,}7857142857,\\ |f(x_{1})|\approx 1{,}346938776.
  • k=2:\\ x_{2}=\dfrac{42}{19}\approx 2{,}2105263158,\\ |x_{2}-x_{1}|\approx 0{,}4962406015,\\ |f(x_{2})|\approx 1{,}097508287.
  • k=3:\\ x_{3}=\dfrac{114}{61}\approx 1{,}8688524590,\\ |x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}3416738568,\\ |f(x_{3})|\approx 0{,}638599857.
  • k=4:\\ x_{4}=\dfrac{366}{175}\approx 2{,}0914285714,\\ |x_{4}-x_{3}|\approx 0{,}2225761124,\\ |f(x_{4})|\approx 0{,}4654285714.
  • k=5:\\ x_{5}=\dfrac{1050}{541}\approx 1{,}9408502772,\\ |x_{5}-x_{4}|\approx 0{,}1505782942,\\ |f(x_{5})|\approx 0{,}292285.
(c) A partir de x_{0}=-2{,}5 para \xi_{1}=-3:
Quais funções convergem agora?
  • \varphi_{1}: tem \varphi_{1}(-3)=-3 mas \left|\varphi_{1}'(-3)\right|=6>1 → não converge localmente.
  • \varphi_{2}: \varphi_{2}(-3)=\sqrt{9}=3\neq -3; -3 NÃO é ponto fixo de \varphi_{2} (raiz principal), logo não converge para -3.
  • \varphi_{3}: \varphi_{3}(-3)=-3 e \left|\varphi_{3}'(-3)\right|=\tfrac{2}{3}<1 → converge localmente para -3.
  • \varphi_{4}: \varphi_{4}(-3)=-3 mas \left|\varphi_{4}'(-3)\right|=\tfrac{3}{2}>1 → não converge localmente.
Tabelas (5 iterações) para a função convergente \varphi_{3}(x)=\dfrac{6}{x}-1 com x_{0}=-2{,}5:
  • k=0:\\ x_{0}=-2{,}5,\\ |f(x_{0})|=0{,}25.
  • k=1:\\ x_{1}=-3{,}4,\\ |x_{1}-x_{0}|=0{,}9,\\ |f(x_{1})|=2{,}16.
  • k=2:\\ x_{2}=-\dfrac{47}{17}\approx -2{,}7647058824,\\ |x_{2}-x_{1}|\approx 0{,}6352941176,\\ |f(x_{2})|\approx 1{,}121797.
  • k=3:\\ x_{3}=-\dfrac{149}{47}\approx -3{,}1702127660,\\ |x_{3}-x_{2}|\approx 0{,}4055068836,\\ |f(x_{3})|\approx 0{,}025349.
  • k=4:\\ x_{4}=-\dfrac{431}{149}\approx -2{,}8932885906,\\ |x_{4}-x_{3}|\approx 0{,}2769241754,\\ |f(x_{4})|\approx 0{,}525369.
  • k=5:\\ x_{5}=-\dfrac{1325}{431}\approx -3{,}0742268041,\\ |x_{5}-x_{4}|\approx 0{,}1809382135,\\ |f(x_{5})|\approx 0{,}376861.

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