Exercício 14 - Funções de iteração para x^{2}+x-6=0
A equação f(x)=x^{2}+x-6=0 admite as raízes \xi_{1}=-3 e \xi_{2}=2.
(a) Calcule \varphi_{i}^{\prime}(x) e avalie \left|\varphi_{i}^{\prime}\left(\xi_{2}\right)\right| para cada função abaixo. Decida se a iteração converge.
(b) Para as funções convergentes, execute \mathbf{5} iterações a partir de x_{0}=2,5, organizando os resultados em tabela com colunas k, x_{k},\left|x_{k}-x_{k-1}\right|,\left|f\left(x_{k}\right)\right|.
(c) Repita o item (b) para \xi_{1}=-3, usando x_{0}=-2,5. Quais funções convergem agora?
Passo 1
O enunciado dá a equação f(x)=x^{2}+x-6=0 com raízes \xi_{1}=-3 e \xi_{2}=2. Pede três coisas:
(a) Para cada \varphi_{i} calcular \varphi_{i}'(x) e avaliar \left|\varphi_{i}'(\xi_{2})\right|; decidir se a iteração de ponto fixo x_{k+1}=\varphi_{i}(x_{k}) converge localmente para \xi_{2}=2.
(b) Para as funções que convergirem a \xi_{2}, executar 5 iterações a partir de x_{0}=2{,}5 e montar tabela com colunas k,\\ x_{k},\\ |x_{k}-x_{k-1}|,\\ |f(x_{k})|.
(c) Repetir (b) para a raiz \xi_{1}=-3 usando x_{0}=-2{,}5; dizer quais funções convergem agora (e para as que convergirem, fazer 5 iterações e tabela).
Informações relevantes que usarei:
As quatro funções:\varphi_{1}(x)=6-x^{2},\qquad \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x},\qquad \varphi_{3}(x)=\frac{6}{x}-1,\qquad \varphi_{4}(x)=\frac{6}{x+1}.
A regra prática de convergência local para iteração de ponto fixo: se \varphi é contínua e diferenciável próximo de um ponto fixo \xi e \left|\varphi'(\xi)\right|<1, então a iteração converge localmente para \xi. Se \left|\varphi'(\xi)\right|>1, normalmente diverge. Se igual a 1 é inconclusivo.
Vou calcular derivadas, avaliar em \xi_{2}=2 (para (a)) e em \xi_{1}=-3 (para (c)), e executar as iterações nos casos indicados.
Passo 2
Explicando a ideia da condição \left|\varphi'(\xi)\right|<1 (mini-aula):
A iteração x_{k+1}=\varphi(x_{k}) tem \xi como ponto fixo se \varphi(\xi)=\xi.
Linearizando \varphi em torno de \xi: para x próximo de \xi,\varphi(x)\approx \varphi(\xi)+\varphi'(\xi)\,(x-\xi)=\xi+\varphi'(\xi)\,(x-\xi).Assim o erro e_{k}=x_{k}-\xi evolui aproximadamente como e_{k+1}\approx \varphi'(\xi)\,e_{k}. Se |\varphi'(\xi)|<1, o erro tende a zero geometricamente; se |\varphi'(\xi)|>1 o erro cresce.
Observação prática: isto é uma condição suficiente (não necessária), e exige que \varphi de fato tenha \xi como ponto fixo (isto é, \varphi(\xi)=\xi). Algumas formulações de \varphi com raiz negativa podem não preservar o sinal (ex.: raiz quadrada principal), então cuidado com domínio/ramo da função.
Passo 3
Calcular as derivadas simbólicas \varphi_{i}'(x):
Para \varphi_{1}(x)=6-x^{2}:\varphi_{1}'(x)=-2x.
Para \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x}: usar regra da cadeia. Escrever \varphi_{2}(x)=(6-x)^{1/2}. Então\varphi_{2}'(x)=\tfrac{1}{2}(6-x)^{-1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2\sqrt{6-x}}.Observação: \varphi_{2} é a raiz quadrada principal, sempre não negativa; domínio real exige 6-x\ge0 (ou seja x\le6).
Para \varphi_{3}(x)=\dfrac{6}{x}-1:\varphi_{3}'(x)=-\frac{6}{x^{2}}.
Para \varphi_{4}(x)=\dfrac{6}{x+1}:\varphi_{4}'(x)=-\frac{6}{(x+1)^{2}}.
Passo 4
Avaliar \left|\varphi_{i}'(\xi_{2})\right| em \xi_{2}=2 e decidir convergência local:
Para \varphi_{1}:\varphi_{1}'(2)=-2\cdot 2=-4,\quad \left|\varphi_{1}'(2)\right|=4>1.Conclusão: iteração não converge para \xi_{2}=2 (decorrência esperada).
Para \varphi_{2}:\varphi_{2}'(2)=-\frac{1}{2\sqrt{6-2}}=-\frac{1}{2\sqrt{4}}=-\frac{1}{4},\quad \left|\varphi_{2}'(2)\right|=\tfrac{1}{4}<1.Conclusão: converge localmente para \xi_{2}=2 (desde que se tome a raiz positiva; e \varphi_{2}(2)=2 de fato).
Para \varphi_{3}:\varphi_{3}'(2)=-\frac{6}{2^{2}}=-\frac{6}{4}=-\tfrac{3}{2},\quad \left|\varphi_{3}'(2)\right|=\tfrac{3}{2}>1.Conclusão: não converge para \xi_{2}=2.
Para \varphi_{4}:\varphi_{4}'(2)=-\frac{6}{(2+1)^{2}}=-\frac{6}{9}=-\tfrac{2}{3},\quad \left|\varphi_{4}'(2)\right|=\tfrac{2}{3}<1.Conclusão: converge localmente para \xi_{2}=2.
Resumo rápido: entre as quatro, \varphi_{2} e \varphi_{4} têm \left|\varphi'(\,2)\right|<1 e portanto convergem localmente para 2; \varphi_{1} e \varphi_{3} não.
Passo 5
Antes de iterar: explico um truque útil que facilita cálculos para \varphi_{2}.
Se x_{k+1}=\varphi_{2}(x_{k})=\sqrt{6-x_{k}}, então x_{k+1}^{2}=6-x_{k}. Daíf(x_{k+1})=x_{k+1}^{2}+x_{k+1}-6=(6-x_{k})+x_{k+1}-6=x_{k+1}-x_{k}.Portanto, para \varphi_{2} temos a igualdade exata|f(x_{k+1})|=|x_{k+1}-x_{k}|.Isso simplifica bastante a tabela: a coluna |f(x_{k})| (para k\ge1) coincidirá com |x_{k}-x_{k-1}|.
Agora executo as iterações pedidas: 5 iterações a partir de x_{0}=2{,}5 para cada função que converge para \xi_{2}=2, isto é, para \varphi_{2} e \varphi_{4}.
Passo 6
Iterações para \varphi_{2}(x)=\sqrt{6-x}, com x_{0}=2{,}5.
Cálculos (aproximações decimais mostradas com 8 casas significativas):
x_{0}=2{,}5.
x_{1}=\sqrt{6-2{,}5}=\sqrt{3{,}5}=1{,}87082869. |x_{1}-x_{0}|=0{,}62917131. Pela relação acima |f(x_{1})|=0{,}62917131.
Observação: \varphi_{4} converge para 2 também, com oscilações (passa acima e abaixo) e diferenças decrescentes.
Passo 8
Agora (item (c)) repetir a análise para a raiz \xi_{1}=-3 (a partir de x_{0}=-2{,}5).
Primeiro, avaliar \left|\varphi_{i}'(\xi_{1})\right| e verificar se \varphi_{i}(\xi_{1})=\xi_{1} (ponto fixo):
\varphi_{1}'(x)=-2x dá \varphi_{1}'(-3)=-2(-3)=6,\\ \left|\varphi_{1}'(-3)\right|=6>1. Além disso \varphi_{1}(-3)=6-(-3)^{2}=6-9=-3, então -3 é fixo de \varphi_{1} mas a derivada maior que 1 indica divergência local.
\varphi_{2}(-3)=\sqrt{6-(-3)}=\sqrt{9}=3\neq -3. Assim \varphi_{2} NÃO tem -3 como ponto fixo, porque \varphi_{2} usa a raiz quadrada principal (não negativa). Mesmo que a derivada formal \varphi_{2}'(-3)=-\tfrac{1}{6} tenha magnitude menor que 1, isso é irrelevante: \varphi_{2} não pode convergir para -3 pois suas imagens são não negativas. Conclusão: \varphi_{2} não converge para -3.
\varphi_{3}'(-3)=-\dfrac{6}{(-3)^{2}}=-\dfrac{6}{9}=-\tfrac{2}{3},\\ \left|\varphi_{3}'(-3)\right|=\tfrac{2}{3}<1. Além disso \varphi_{3}(-3)=\dfrac{6}{-3}-1=-2-1=-3, então -3 é ponto fixo de \varphi_{3} e a condição |\varphi_{3}'(-3)|<1 indica convergência local para -3.
\varphi_{4}'(-3)=-\dfrac{6}{(-3+1)^{2}}=-\dfrac{6}{4}=-\tfrac{3}{2},\\ \left|\varphi_{4}'(-3)\right|=\tfrac{3}{2}>1. Além disso \varphi_{4}(-3)=\dfrac{6}{-3+1}=\dfrac{6}{-2}=-3, então -3 é fixo de \varphi_{4} mas a derivada com magnitude >1 indica divergência local.
Resumo: apenas \varphi_{3} tem boa condição local para convergir a -3. \varphi_{1} e \varphi_{4} têm |\varphi'(-3)|>1 então divergem; \varphi_{2} não tem -3 como ponto fixo (devido à raiz principal), logo não converge para -3.
Passo 9
Executar 5 iterações para a(s) função(ões) que convergem para \xi_{1}=-3 — neste caso apenas \varphi_{3}(x)=\dfrac{6}{x}-1 — com x_{0}=-2{,}5.
Vou usar frações exatas quando possível (isso facilita calcular f(x) com precisão).
Note que os valores oscilam em torno de -3 mas as diferenças |x_{k}-x_{k-1}| tendem a diminuir (com comportamento oscilatório), o que é compatível com convergência local (derivada em magnitude <1).
Resposta
(a) Derivadas e avaliações em \xi_{2}=2 e conclusão de convergência:
\varphi_{1}'(x)=-2x. \varphi_{1}'(2)=-4,\\ \left|\varphi_{1}'(2)\right|=4>1. Não converge para 2.
\varphi_{2}'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt{6-x}}. \varphi_{2}'(2)=-\dfrac{1}{4},\\ \left|\varphi_{2}'(2)\right|=\tfrac{1}{4}<1. Converge para 2.
\varphi_{3}'(x)=-\dfrac{6}{x^{2}}. \varphi_{3}'(2)=-\tfrac{3}{2},\\ \left|\varphi_{3}'(2)\right|=\tfrac{3}{2}>1. Não converge para 2.
\varphi_{4}'(x)=-\dfrac{6}{(x+1)^{2}}. \varphi_{4}'(2)=-\tfrac{2}{3},\\ \left|\varphi_{4}'(2)\right|=\tfrac{2}{3}<1. Converge para 2.