Para cada equação, aplique o Método de Newton com o x_{0} indicado e execute iterações até \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-8}. Organize em tabela com colunas k, x_{k}, f\left(x_{k}\right), f^{\prime}\left(x_{k}\right),\left|x_{k}-x_{k-1}\right|. f(x)=x^{3}-9 x+3, \quad x_{0}=0,5 \quad (raiz em [0,1] )
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
Pede aplicar o Método de Newton para a função \displaystyle f(x)=x^{3}-9x+3 com x_{0}=0,5.
Critério de parada: executar iterações até \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-8}.
Informação adicional útil dada: a raiz está no intervalo [0,1].
Vamos organizar os resultados numa tabela com as colunas k,\;x_{k},\;f(x_{k}),\;f'(x_{k}),\;|x_{k}-x_{k-1}|.
Passo 2
O método que vamos usar (fórmula e ideia por trás), explicado passo a passo:
Ideia do Método de Newton: aproximar a função por sua reta tangente em x_{k} e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{k+1}. Isso costuma convergir muito rápido se a aproximação inicial for razoável e se f' não for nula perto da raiz.
Fórmula do método (mostrada isolada):
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
O que cada símbolo significa:
x_{k} é a aproximação atual da raiz.
x_{k+1} é a próxima aproximação obtida a partir de x_{k}.
f(x_{k}) é o valor da função no ponto x_{k}.
f'(x_{k}) é a derivada de f no ponto x_{k}; precisa ser não nula para aplicar a fórmula.
Vamos calcular f'(x) explicitamente antes de iterar para facilitar os cálculos.
Passo 3
Cálculo da derivada e revisão da função:
A função é \displaystyle f(x)=x^{3}-9x+3.
A derivada é (mostrar em bloco):
f'(x)=3x^{2}-9.
Observação prática: em nossos pontos iniciais f'(x) é negativo e diferente de zero (logo podemos aplicar Newton).
Passo 4
Primeira iteração (k=0 → k=1): calcular tudo detalhadamente.
Aplicar a fórmula de Newton:x_{1}=0,5-\frac{-1,375}{-8,25}=0,5-\frac{1,375}{8,25}=0,5-0,166\,666\,666\ldots=0,333\,333\,333\ldotsou seja x_{1}=\dfrac{1}{3}.
Calcular f(x_{1}) e f'(x_{1}):f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{1}{27}\approx0,037\,037\,037, \qquad f'\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}-9=\tfrac{1}{3}-9=-\tfrac{26}{3}\approx-8,666\,666\,667.
Distância entre iterações:|x_{1}-x_{0}|=\left|\tfrac{1}{3}-0,5\right|=\tfrac{1}{6}\approx0,166\,666\,6667.
Passo 5
Segunda iteração (k=1 → k=2): calcular e, quando possível, manter formas racionais para exatidão.
Usando x_{1}=\tfrac{1}{3}, fazemos uma iteração:x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} =\tfrac{1}{3}-\frac{\tfrac{1}{27}}{-\tfrac{26}{3}} =\tfrac{1}{3}+\frac{1}{27}\cdot\frac{3}{26} =\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{234}.
Calcular f(x_{2}) exatamente (frações ajudam): depois de manipular polinômios obtemosf\!\left(\tfrac{79}{234}\right)=\frac{235}{12\,812\,904}\approx1{,}8340236\times10^{-5}.(detalhe: esse número pequeno confirma que já estamos bem perto da raiz).
Calcular f'(x_{2}) em forma racional:f'\!\left(\tfrac{79}{234}\right)=3\left(\tfrac{79}{234}\right)^{2}-9=-\frac{474\,081}{54\,756}\approx-8{,}658064\ldots
Distância entre iterações:|x_{2}-x_{1}|=\left|\tfrac{79}{234}-\tfrac{1}{3}\right|=\frac{1}{234}\approx0,0042735043.
Passo 6
Terceira iteração (k=2 → k=3) e verificação do critério de parada:
Aplicar Newton a x_{2}=\tfrac{79}{234}:x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}.Usando as frações vistas antes, o incremento calculado é\Delta = \frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})} =\frac{235/12\,812\,904}{-474\,081/54\,756} =-\frac{12\,867\,660}{6\,074\,354\,341\,224}\approx-2{,}118017\times10^{-6}.Portantox_{3}=x_{2}-\Delta \approx 0,337\,606\,8376068376 + 0,000\,002118017 \approx 0,337\,608\,955623.
Agora calcular f(x_{3}). Por construção do método de Newton, a parte linear cancela praticamente toda a contribuição, e o resíduo é da ordem de (f/f')^{2}. Usando a estimativa,f(x_{3})\approx \tfrac{1}{2}f''(\xi)\left(\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\right)^{2},com f''(x)=6x e \xi entre x_{2} e x_{3}. Numericamente isso dáf(x_{3})\approx 4{,}5\times10^{-12},que já satisfaz o critério \left|f(x_{k})\right|<10^{-8}.
Distância entre iterações:|x_{3}-x_{2}|\approx2{,}118017\times10^{-6}.
Passo 7
Apresentação organizada (tabela) dos resultados das iterações até o critério pedido.
A tabela abaixo lista k,\;x_{k},\;f(x_{k}),\;f'(x_{k}),\;|x_{k}-x_{k-1}|. Números mostrados com precisão suficiente para a prova; quando possível as expressões racionais exatas foram mantidas.