Exercício 18 - Iterações de Newton
Para cada equação, aplique o Método de Newton com o x_{0} indicado e execute iterações até \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-8}. Organize em tabela com colunas k, x_{k}, f\left(x_{k}\right), f^{\prime}\left(x_{k}\right),\left|x_{k}-x_{k-1}\right|.
f(x)=x^{3}-9 x+3, \quad x_{0}=0,5 \quad (raiz em [0,1] )

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede aplicar o Método de Newton para a função \displaystyle f(x)=x^{3}-9x+3 com x_{0}=0,5.
  • Critério de parada: executar iterações até \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-8}.
  • Informação adicional útil dada: a raiz está no intervalo [0,1].
  • Vamos organizar os resultados numa tabela com as colunas k,\;x_{k},\;f(x_{k}),\;f'(x_{k}),\;|x_{k}-x_{k-1}|.

Passo 2

O método que vamos usar (fórmula e ideia por trás), explicado passo a passo:
  • Ideia do Método de Newton: aproximar a função por sua reta tangente em x_{k} e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{k+1}. Isso costuma convergir muito rápido se a aproximação inicial for razoável e se f' não for nula perto da raiz.
  • Fórmula do método (mostrada isolada):
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
  • O que cada símbolo significa:
    • x_{k} é a aproximação atual da raiz.
    • x_{k+1} é a próxima aproximação obtida a partir de x_{k}.
    • f(x_{k}) é o valor da função no ponto x_{k}.
    • f'(x_{k}) é a derivada de f no ponto x_{k}; precisa ser não nula para aplicar a fórmula.
  • Vamos calcular f'(x) explicitamente antes de iterar para facilitar os cálculos.

Passo 3

Cálculo da derivada e revisão da função:
  • A função é \displaystyle f(x)=x^{3}-9x+3.
  • A derivada é (mostrar em bloco):
f'(x)=3x^{2}-9.
  • Observação prática: em nossos pontos iniciais f'(x) é negativo e diferente de zero (logo podemos aplicar Newton).

Passo 4

Primeira iteração (k=0 → k=1): calcular tudo detalhadamente.
  • Dados iniciais: x_{0}=0,5.
  • Calcular f(x_{0}): f(0,5)=0,5^{3}-9\cdot0,5+3=0,125-4,5+3=-1,375.
  • Calcular f'(x_{0}): f'(0,5)=3\cdot0,5^{2}-9=3\cdot0,25-9=0,75-9=-8,25.
  • Aplicar a fórmula de Newton: x_{1}=0,5-\frac{-1,375}{-8,25}=0,5-\frac{1,375}{8,25}=0,5-0,166\,666\,666\ldots=0,333\,333\,333\ldotsou seja x_{1}=\dfrac{1}{3}.
  • Calcular f(x_{1}) e f'(x_{1}): f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{1}{27}\approx0,037\,037\,037, \qquad f'\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}-9=\tfrac{1}{3}-9=-\tfrac{26}{3}\approx-8,666\,666\,667.
  • Distância entre iterações: |x_{1}-x_{0}|=\left|\tfrac{1}{3}-0,5\right|=\tfrac{1}{6}\approx0,166\,666\,6667.

Passo 5

Segunda iteração (k=1 → k=2): calcular e, quando possível, manter formas racionais para exatidão.
  • Usando x_{1}=\tfrac{1}{3}, fazemos uma iteração: x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} =\tfrac{1}{3}-\frac{\tfrac{1}{27}}{-\tfrac{26}{3}} =\tfrac{1}{3}+\frac{1}{27}\cdot\frac{3}{26} =\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{234}.
  • Somando frações: x_{2}=\frac{78}{234}+\frac{1}{234}=\frac{79}{234}\approx0,337\,606\,8376.
  • Calcular f(x_{2}) exatamente (frações ajudam): depois de manipular polinômios obtemos f\!\left(\tfrac{79}{234}\right)=\frac{235}{12\,812\,904}\approx1{,}8340236\times10^{-5}.(detalhe: esse número pequeno confirma que já estamos bem perto da raiz).
  • Calcular f'(x_{2}) em forma racional: f'\!\left(\tfrac{79}{234}\right)=3\left(\tfrac{79}{234}\right)^{2}-9=-\frac{474\,081}{54\,756}\approx-8{,}658064\ldots
  • Distância entre iterações: |x_{2}-x_{1}|=\left|\tfrac{79}{234}-\tfrac{1}{3}\right|=\frac{1}{234}\approx0,0042735043.

Passo 6

Terceira iteração (k=2 → k=3) e verificação do critério de parada:
  • Aplicar Newton a x_{2}=\tfrac{79}{234}: x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}.Usando as frações vistas antes, o incremento calculado é \Delta = \frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})} =\frac{235/12\,812\,904}{-474\,081/54\,756} =-\frac{12\,867\,660}{6\,074\,354\,341\,224}\approx-2{,}118017\times10^{-6}.Portanto x_{3}=x_{2}-\Delta \approx 0,337\,606\,8376068376 + 0,000\,002118017 \approx 0,337\,608\,955623.
  • Agora calcular f(x_{3}). Por construção do método de Newton, a parte linear cancela praticamente toda a contribuição, e o resíduo é da ordem de (f/f')^{2}. Usando a estimativa, f(x_{3})\approx \tfrac{1}{2}f''(\xi)\left(\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\right)^{2},com f''(x)=6x e \xi entre x_{2} e x_{3}. Numericamente isso dá f(x_{3})\approx 4{,}5\times10^{-12},que já satisfaz o critério \left|f(x_{k})\right|<10^{-8}.
  • Calcular f'(x_{3}) aproximadamente: f'(x_{3})=3x_{3}^{2}-9\approx-8{,}6581068\ldots
  • Distância entre iterações: |x_{3}-x_{2}|\approx2{,}118017\times10^{-6}.

Passo 7

Apresentação organizada (tabela) dos resultados das iterações até o critério pedido.
  • A tabela abaixo lista k,\;x_{k},\;f(x_{k}),\;f'(x_{k}),\;|x_{k}-x_{k-1}|. Números mostrados com precisão suficiente para a prova; quando possível as expressões racionais exatas foram mantidas.
k = 0
x_{0}=0,5
f(x_{0})=-1,375
f'(x_{0})=-8,25
|x_{0}-x_{-1}|= — (não aplicável)
k = 1
x_{1}=\tfrac{1}{3}\approx0,333\,333\,3333
f(x_{1})=\tfrac{1}{27}\approx0,037\,037\,0370
f'(x_{1})=-\tfrac{26}{3}\approx-8,666\,666\,667
|x_{1}-x_{0}|=\tfrac{1}{6}\approx0,166\,666\,6667
k = 2
x_{2}=\tfrac{79}{234}\approx0,337\,606\,8376
f(x_{2})=\dfrac{235}{12\,812\,904}\approx1{,}8340236\times10^{-5}
f'(x_{2})=-\dfrac{474\,081}{54\,756}\approx-8{,}658064
|x_{2}-x_{1}|=\dfrac{1}{234}\approx0,0042735043
k = 3
x_{3}\approx0,337\,608\,9556
f(x_{3})\approx4{,}5\times10^{-12}
f'(x_{3})\approx-8{,}6581068
|x_{3}-x_{2}|\approx2{,}118017\times10^{-6}
  • Paramos em k=3 porque \left|f(x_{3})\right|\approx4{,}5\times10^{-12}<10^{-8}, satisfazendo o critério de parada pedido.

Resposta

x\approx0,3376089556

Exercícios relacionados