Exercício 20 - Raízes múltiplas

Considere f(x)=(x-1)^{3}.
(a) Aplique Newton padrão a partir de x_{0}=0 e execute 10 iterações. Estime a razão de convergência \left|e_{k+1}\right| /\left|e_{k}\right| e confirme que é linear com fator 2 / 3.
(b) Aplique o Newton modificado x_{k+1}=x_{k}-m f\left(x_{k}\right) / f^{\prime}\left(x_{k}\right) com m=3 e observe a convergência quadrática.
(c) Para f(x)=(x-2)^{2}(x+1), encontre as raízes por Newton padrão e modificado, partindo de x_{0}=1,5 e x_{0}=-0,5. Comente as diferenças.

Passo 1

O enunciado pede três coisas distintas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido em cada item.
  • Dados gerais que aparecem nas três partes:
    • Funções a serem tratadas: \,f(x)=(x-1)^3 e \,f(x)=(x-2)^2(x+1).
    • Métodos: Newton padrão (iteração x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}) e Newton modificado (iterador x_{k+1}=x_k-m\,\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}, em que m é a multiplicidade suposta da raiz).
  • Pedido (a): Para \,f(x)=(x-1)^3, aplicar Newton padrão a partir de x_0=0, executar 10 iterações, estimar a razão de convergência \left|e_{k+1}\right|/\left|e_k\right| (com e_k=x_k-1) e confirmar que é linear com fator 2/3.
  • Pedido (b): Para a mesma f(x)=(x-1)^3, aplicar Newton modificado com m=3 e observar convergência (espera-se aceleração).
  • Pedido (c): Para \,f(x)=(x-2)^2(x+1), aplicar Newton padrão e Newton modificado (usar m=2 ao modificar para a raiz dupla) partindo de x_0=1,5 e de x_0=-0,5. Comparar comportamentos (diferenças de convergência entre raízes simples e múltiplas, e entre métodos).

Passo 2

Breve aula sobre Newton (intuição e fórmula usada).
  • Newton padrão: a iteração é
x_{k+1}=x_k-\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
Aqui x_k é a aproximação atual, f(x_k) é o valor da função e f'(x_k) sua derivada. A ideia: linearizar f em torno de x_k e tomar a raiz da reta tangente.
  • Newton modificado para raiz de multiplicidade m: usar
x_{k+1}=x_k-m\,\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
Motivação: quando a raiz tem multiplicidade m>1, o Newton padrão perde ordem (fica normalmente apenas linear). Multiplicando por m corrige essa perda e recupera convergência mais rápida (quadrática se m for correto).
  • Erros: defino \,e_k = x_k - r, em que r é a raiz exata. Para uma raiz de multiplicidade m espera-se:
    • Newton padrão: convergência linear com razão aproximadamente (m-1)/m.
    • Newton modificado (com o m correto): convergência de segunda ordem (quadrática), ou muito acelerada.

Passo 3

Aplicando isso a \,f(x)=(x-1)^3 — cálculo simbólico e simplificação do iterador Newton padrão.
  • Derivada:
f'(x)=3(x-1)^2.
  • Iterador de Newton padrão:
x_{k+1}=x_k-\dfrac{(x_k-1)^3}{3(x_k-1)^2}=x_k-\dfrac{x_k-1}{3}=\dfrac{2}{3}x_k+\dfrac{1}{3}.
  • Erro e_k=x_k-1. Subtraindo 1 da expressão acima:
e_{k+1}=\dfrac{2}{3}e_k.
Logo a evolução do erro é exatamente multiplicativa por 2/3: isto mostra convergência linear com fator \dfrac{2}{3} (é exato para esta função pura).

Passo 4

Computação explícita das 10 iterações (usando a forma fechada). Como e_k=(2/3)^k e_0 e e_0=x_0-1=0-1=-1, tem-se
e_k = -\left(\dfrac{2}{3}\right)^k,\qquad x_k=1+e_k=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^k.
Calculo dos primeiros termos e até k=10 (mostro fração exata e valor decimal aproximado):
  • k=0:\; x_0=0.
  • k=1:\; x_1=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\approx 0,333333.
  • k=2:\; x_2=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}\approx 0,555556.
  • k=3:\; x_3=1-\dfrac{8}{27}\approx 0,703704.
  • k=4:\; x_4=1-\dfrac{16}{81}\approx 0,802469.
  • k=5:\; x_5=1-\dfrac{32}{243}\approx 0,868356.
  • k=6:\; x_6=1-\dfrac{64}{729}\approx 0,912545.
  • k=7:\; x_7=1-\dfrac{128}{2187}\approx 0,937030.
  • k=8:\; x_8=1-\dfrac{256}{6561}\approx 0,950020.
  • k=9:\; x_9=1-\dfrac{512}{19683}\approx 0,961347.
  • k=10:\; x_{10}=1-\dfrac{1024}{59049}\approx 0,9826585 (nota: \dfrac{1024}{59049}\approx0,0173415).
    Razões dos erros:
\frac{|e_{k+1}|}{|e_k|}=\frac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k+1}}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^k}=\dfrac{2}{3},
constante em todas as iterações — confirma convergência linear com fator 2/3.

Passo 5

Interpretação e conclusão do item (a).
  • Resultado exato: a iteração é linear (não quadrática) e o fator de contração do erro é \dfrac{2}{3}.
  • Valor após 10 iterações: \;x_{10}=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}\approx0,9826585.

Passo 6

Agora (b): Newton modificado para \,f(x)=(x-1)^3 com m=3.
  • Fórmula do método modificado:
x_{k+1}=x_k-3\,\dfrac{(x_k-1)^3}{3(x_k-1)^2}=x_k-(x_k-1)=1.
  • Conclusão: para qualquer x_k\neq 1 (onde a derivada existe e não causa divisão por zero), a iteração manda diretamente para x_{k+1}=1, a raiz exata. Ou seja, em uma única iteração obtém-se erro zero. Isso é um caso extremo em que o método modificado resolve a raiz múltipla imediatamente (portanto observa-se convergência “instantânea” — muito mais rápida que quadrática).

Passo 7

Explicação conceitual rápida do porquê: para f(x)=(x-1)^3 a razão f/f' reduz exatamente a (x-1)/3, e multiplicar por m=3 cancela o fator \tfrac{1}{3}, levando diretamente a x_{k+1}=1. Em geral o Newton modificado (com m correto) recupera ordem quadrática; aqui o efeito é ainda mais forte (solução exata em um passo).

Passo 8

Agora (c): trabalhemos com \,f(x)=(x-2)^2(x+1).
  • Raízes: r_1=2 (multiplicidade 2), r_2=-1 (multiplicidade 1).
  • Derivada (calculei explicitamente):
f'(x)=2(x-2)(x+1)+(x-2)^2 = (x-2)\big(2(x+1)+(x-2)\big)=(x-2)(3x)=3x(x-2).
(Portanto f'(x)=3x(x-2).)

Passo 9

Iterador Newton padrão (algebra simplificada):
x_{k+1}=x_k-\dfrac{(x_k-2)^2(x_k+1)}{3x_k(x_k-2)} = x_k-\dfrac{(x_k-2)(x_k+1)}{3x_k}.
Iterador Newton modificado com m=2 (usado para a raiz dupla 2):
x_{k+1}=x_k-2\,\dfrac{(x_k-2)^2(x_k+1)}{3x_k(x_k-2)} = x_k-2\,\dfrac{(x_k-2)(x_k+1)}{3x_k}.

Passo 10

Iterações a partir de x_0=1{,}5.
Newton padrão (usar a fórmula)
  • x_0=1{,}5.
  • Passo 1: calcular \dfrac{(x_0-2)(x_0+1)}{3x_0}=\dfrac{(-0,5)(2,5)}{4,5}=-\dfrac{1,25}{4,5}\approx-0,27777778. Logo x_1=1{,}5-(-0,27777778)=1{,}77777778.
  • Passo 2: com x_1\approx1{,}77777778 obtemos x_2\approx1{,}8935259.
  • Passo 3: x_3\approx1{,}947760.
  • Passo 4: x_4\approx1{,}974112.
  • Passo 5: x_5\approx1{,}987130.
    Observação: converge para 2 lentamente, com redução aproximadamente linear do erro; para raiz dupla a taxa teórica de Newton padrão tende a (m-1)/m=1/2, e os rácios observados caminham para 1/2.
Newton modificado com m=2 (aqui tentamos acelerar convergência para a raiz dupla 2)
  • x_0=1{,}5.
  • O termo anterior duplicado: 2\cdot(-0,27777778)=-0,55555556. Portanto x_1=1{,}5-(-0,55555556)=2{,}05555556.
  • Em seguida x_2\approx2{,}000515.
  • Depois x_3\approx2{,}000000 (jà praticamente no valor exato até a precisão mostrada).
    Observação: o método modificado (com m=2) acelera fortemente a convergência para a raiz dupla 2, recuperando ordem quadrática (poucas iterações para ficar na margem de erro numérico).

Passo 11

Iterações a partir de x_0=-0{,}5.
Newton padrão:
  • x_0=-0{,}5.
  • Cálculo do termo \dfrac{(x_0-2)(x_0+1)}{3x_0}=\dfrac{(-2,5)(0,5)}{-1,5}=\dfrac{-1,25}{-1,5}=0,8333333. x_1=-0{,}5-0,8333333=-1{,}3333333.
  • x_2\approx-1{,}0555556.
  • x_3\approx-1{,}001931.
  • x_4\approx-1{,}000002.
    Observação: para a raiz simples -1 o Newton padrão converge quadráticamente e rapidamente.
Newton modificado com m=2 (mesmo m=2 escolhido para melhorar a raiz dupla 2):
  • x_0=-0{,}5.
  • O passo modificado duplica o termo: 2\cdot 0,8333333=1,6666667. x_1=-0{,}5-1,6666667=-2{,}1666667.
  • x_2\approx-0{,}6724778.
  • x_3\approx-1{,}107 (oscila e depois aproxima-se), etc.
    Observação: ao aplicar o Newton modificado com m=2 a um ponto que converge para a raiz simples -1, a iteração pode ficar menos estável/rápida — o método foi calibrado para acelerar a raiz dupla 2, não a simples -1. Daí em diante o comportamento pode ser oscilatório ou mais lento inicialmente; ainda assim muitas vezes converge, mas perde a atração/quadrática típica do Newton padrão para raízes simples.

Passo 12

Conclusões e comentários comparativos (didático e prático):
  • Para uma raiz múltipla de multiplicidade m:
    • Newton padrão costuma ter convergência apenas linear com fator (m-1)/m. No caso m=3 do item (a) o fator é 2/3, e no caso m=2 do item (c) o fator é 1/2.
    • Newton modificado com o m correto recupera a convergência mais rápida (tipicamente quadrática) para a raiz múltipla — é altamente recomendável usar o modificado quando se sabe a multiplicidade.
  • Para raízes simples:
    • Newton padrão é quadrático e normalmente a melhor escolha.
    • Usar um Newton modificado com m diferente de 1 (por exemplo usar m=2 quando a raiz é simples) pode prejudicar a convergência (passos maiores, possível oscilação), portanto não se deve usá-lo sem necessidade.
  • Observação prática para provas: quando a função é uma potência pura (x-r)^m as expressões se simplificam muito e dá para obter fórmulas fechadas (como fiz em (a)); quando houver produto (como em (c)) vale calcular f' explicitamente e simplificar o iterador antes de calcular numericamente — isso facilita muito as iterações à mão.

Resposta

(a) Após 10 iterações \;x_{10}=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}\approx0{,}9826585. A razão \dfrac{|e_{k+1}|}{|e_k|}=\dfrac{2}{3} — convergência linear com fator 2/3.
(b) Com Newton modificado m=3 tem-se x_{k+1}=1 para qualquer x_k\neq1; portanto em uma iteração chega-se exatamente à raiz ( x_1=1) — convergência instantânea (erro zero depois de um passo).
(c) Para f(x)=(x-2)^2(x+1):
  • Partindo de x_0=1{,}5: Newton padrão converge linearmente para 2 (ex.: x_1\approx1{,}777778,\;x_2\approx1{,}893526,\;x_3\approx1{,}947760,\dots); Newton modificado com m=2 converge muito mais rápido para 2 (ex.: x_1\approx2{,}055556,\;x_2\approx2{,}000515,\;x_3\approx2{,}000000).
  • Partindo de x_0=-0{,}5: Newton padrão converge quadráticamente para -1 (ex.: x_1\approx-1{,}333333,\;x_2\approx-1{,}055556,\;x_3\approx-1{,}001931,\dots); Newton modificado com m=2 pode tornar a iteração menos estável/mais oscilante para a raiz simples -1 (ex.: x_1\approx-2{,}166667,\;x_2\approx-0{,}672478,\dots), ou seja, o modificado acelera a convergência para a raiz dupla 2 mas pode prejudicar a convergência para a raiz simples -1.

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