Exercício 20 - Raízes múltiplas
Considere
.
(a) Aplique Newton padrão a partir de
e execute 10 iterações. Estime a razão de convergência
e confirme que é linear com fator
.
(b) Aplique o Newton modificado
com
e observe a convergência quadrática.
(c) Para
, encontre as raízes por Newton padrão e modificado, partindo de
e
. Comente as diferenças.
(a) Aplique Newton padrão a partir de
(b) Aplique o Newton modificado
(c) Para
Passo 1
O enunciado pede três coisas distintas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido em cada item.
- Dados gerais que aparecem nas três partes:
- Funções a serem tratadas:
e . - Métodos: Newton padrão (iteração
) e Newton modificado (iterador , em que é a multiplicidade suposta da raiz).
- Funções a serem tratadas:
- Pedido (a): Para
, aplicar Newton padrão a partir de , executar 10 iterações, estimar a razão de convergência (com ) e confirmar que é linear com fator . - Pedido (b): Para a mesma
, aplicar Newton modificado com e observar convergência (espera-se aceleração). - Pedido (c): Para
, aplicar Newton padrão e Newton modificado (usar ao modificar para a raiz dupla) partindo de e de . Comparar comportamentos (diferenças de convergência entre raízes simples e múltiplas, e entre métodos).
Passo 2
Breve aula sobre Newton (intuição e fórmula usada).
- Newton padrão: a iteração é
Aqui
é a aproximação atual,
é o valor da função e
sua derivada. A ideia: linearizar
em torno de
e tomar a raiz da reta tangente.
- Newton modificado para raiz de multiplicidade
: usar
Motivação: quando a raiz tem multiplicidade
, o Newton padrão perde ordem (fica normalmente apenas linear). Multiplicando por
corrige essa perda e recupera convergência mais rápida (quadrática se
for correto).
- Erros: defino
, em que é a raiz exata. Para uma raiz de multiplicidade espera-se: - Newton padrão: convergência linear com razão aproximadamente
. - Newton modificado (com o
correto): convergência de segunda ordem (quadrática), ou muito acelerada.
- Newton padrão: convergência linear com razão aproximadamente
Passo 3
Aplicando isso a
— cálculo simbólico e simplificação do iterador Newton padrão.
- Derivada:
- Iterador de Newton padrão:
- Erro
. Subtraindo 1 da expressão acima:
Logo a evolução do erro é exatamente multiplicativa por
: isto mostra convergência linear com fator
(é exato para esta função pura).
Passo 4
Computação explícita das 10 iterações (usando a forma fechada). Como
e
, tem-se
Calculo dos primeiros termos e até
(mostro fração exata e valor decimal aproximado):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
(nota: ).
Razões dos erros:
constante em todas as iterações — confirma convergência linear com fator
.
Passo 5
Interpretação e conclusão do item (a).
- Resultado exato: a iteração é linear (não quadrática) e o fator de contração do erro é
. - Valor após 10 iterações:
Passo 6
Agora (b): Newton modificado para
com
.
- Fórmula do método modificado:
- Conclusão: para qualquer
(onde a derivada existe e não causa divisão por zero), a iteração manda diretamente para , a raiz exata. Ou seja, em uma única iteração obtém-se erro zero. Isso é um caso extremo em que o método modificado resolve a raiz múltipla imediatamente (portanto observa-se convergência “instantânea” — muito mais rápida que quadrática).
Passo 7
Explicação conceitual rápida do porquê: para
a razão
reduz exatamente a
, e multiplicar por
cancela o fator
, levando diretamente a
. Em geral o Newton modificado (com
correto) recupera ordem quadrática; aqui o efeito é ainda mais forte (solução exata em um passo).
Passo 8
Agora (c): trabalhemos com
.
- Raízes:
(multiplicidade ), (multiplicidade ). - Derivada (calculei explicitamente):
(Portanto
.)
Passo 9
Iterador Newton padrão (algebra simplificada):
Iterador Newton modificado com
(usado para a raiz dupla
):
Passo 10
Iterações a partir de
.
Newton padrão (usar a fórmula)
-
. - Passo 1: calcular
. Logo - Passo 2: com
obtemos . - Passo 3:
. - Passo 4:
. - Passo 5:
.
Observação: converge paralentamente, com redução aproximadamente linear do erro; para raiz dupla a taxa teórica de Newton padrão tende a , e os rácios observados caminham para .
Newton modificado com
(aqui tentamos acelerar convergência para a raiz dupla
)
-
. - O termo anterior duplicado:
. Portanto - Em seguida
. - Depois
(jà praticamente no valor exato até a precisão mostrada).
Observação: o método modificado (com) acelera fortemente a convergência para a raiz dupla , recuperando ordem quadrática (poucas iterações para ficar na margem de erro numérico).
Passo 11
Iterações a partir de
.
Newton padrão:
-
. - Cálculo do termo
. -
. -
. -
.
Observação: para a raiz simpleso Newton padrão converge quadráticamente e rapidamente.
Newton modificado com
(mesmo
escolhido para melhorar a raiz dupla
):
-
. - O passo modificado duplica o termo:
. -
. -
(oscila e depois aproxima-se), etc.
Observação: ao aplicar o Newton modificado coma um ponto que converge para a raiz simples , a iteração pode ficar menos estável/rápida — o método foi calibrado para acelerar a raiz dupla , não a simples . Daí em diante o comportamento pode ser oscilatório ou mais lento inicialmente; ainda assim muitas vezes converge, mas perde a atração/quadrática típica do Newton padrão para raízes simples.
Passo 12
Conclusões e comentários comparativos (didático e prático):
- Para uma raiz múltipla de multiplicidade
: - Newton padrão costuma ter convergência apenas linear com fator
. No caso do item (a) o fator é , e no caso do item (c) o fator é . - Newton modificado com o
correto recupera a convergência mais rápida (tipicamente quadrática) para a raiz múltipla — é altamente recomendável usar o modificado quando se sabe a multiplicidade.
- Newton padrão costuma ter convergência apenas linear com fator
- Para raízes simples:
- Newton padrão é quadrático e normalmente a melhor escolha.
- Usar um Newton modificado com
diferente de 1 (por exemplo usar quando a raiz é simples) pode prejudicar a convergência (passos maiores, possível oscilação), portanto não se deve usá-lo sem necessidade.
- Observação prática para provas: quando a função é uma potência pura
as expressões se simplificam muito e dá para obter fórmulas fechadas (como fiz em (a)); quando houver produto (como em (c)) vale calcular explicitamente e simplificar o iterador antes de calcular numericamente — isso facilita muito as iterações à mão.
Resposta
(a) Após 10 iterações
. A razão
— convergência linear com fator
.
(b) Com Newton modificado
tem-se
para qualquer
; portanto em uma iteração chega-se exatamente à raiz (
) — convergência instantânea (erro zero depois de um passo).
(c) Para
:
- Partindo de
: Newton padrão converge linearmente para (ex.: ); Newton modificado com converge muito mais rápido para (ex.: ). - Partindo de
: Newton padrão converge quadráticamente para (ex.: ); Newton modificado com pode tornar a iteração menos estável/mais oscilante para a raiz simples (ex.: ), ou seja, o modificado acelera a convergência para a raiz dupla mas pode prejudicar a convergência para a raiz simples .