Exercício 19 - Newton como caso especial do Ponto Fixo

Considere g(x)=x-f(x) / f^{\prime}(x), a função de iteração de Newton.
(a) Calcule g^{\prime}(x) e mostre que g^{\prime}(\xi)=0 para qualquer raiz simples \xi (com f(\xi)=0 e f^{\prime}(\xi) \neq 0 ).
(b) Conclua que Newton converge quadraticamente usando o corolário do Teorema do Ponto Fixo.
(c) Para f(x)=x^{2}-2, escreva g(x) explicitamente e verifique que a sequência 1 \rightarrow 1,5 \rightarrow 1,4167 \rightarrow \cdots dobra o número de dígitos corretos a cada iteração.

Passo 1

O enunciado dá a função de iteração de Newton
g(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}
e pede três coisas:
  • (a) Calcular g^{\prime}(x) e mostrar que g^{\prime}(\xi)=0 para qualquer raiz simples \xi (isto é, f(\xi)=0 e f^{\prime}(\xi)\neq0).
  • (b) Concluir que o método de Newton converge quadraticamente, usando o corolário do Teorema do Ponto Fixo.
  • (c) Para f(x)=x^{2}-2: escrever g(x) explicitamente e verificar, numericamente, que a sequência iniciada em 1 produz 1\to1{,}5\to1{,}4167\to\cdots e que o número de dígitos corretos dobra a cada iteração (ou seja, verificar o comportamento quadrático na prática).
Informações relevantes dadas:
  • f é diferenciável (pelo contexto do método de Newton assumimos derivadas suficientes).
  • \xi é uma raiz simples: f(\xi)=0 e f^{\prime}(\xi)\neq0.
  • Para (c), f(x)=x^{2}-2 e queremos iterar a fórmula de Newton para aproximar \sqrt{2}.

Passo 2

Vamos calcular g^{\prime}(x) de forma detalhada, usando a regra do quociente. Defina
g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}.
A derivada de x é 1. Para derivar a parcela \dfrac{f(x)}{f'(x)} aplicamos a regra do quociente: se u(x)=f(x) e v(x)=f'(x), então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'=f'(x) e v'=f''(x). Logo
\left(\frac{f}{f'}\right)'=\frac{f'(x)\,f'(x)-f(x)\,f''(x)}{\big(f'(x)\big)^{2}}=\frac{\big(f'(x)\big)^{2}-f(x)f''(x)}{\big(f'(x)\big)^{2}}.
Portanto, juntando com a derivada de x,
g'(x)=1-\frac{\big(f'(x)\big)^{2}-f(x)f''(x)}{\big(f'(x)\big)^{2}}.
Agora simplificamos:
g'(x)=1-\left(1-\frac{f(x)f''(x)}{\big(f'(x)\big)^{2}}\right)=\frac{f(x)f''(x)}{\big(f'(x)\big)^{2}}.
Assim obtemos a expressão final
\boxed{\,g'(x)=\dfrac{f(x)\,f''(x)}{\big(f'(x)\big)^{2}}\,.}

Passo 3

Avaliação em uma raiz simples \xi: como f(\xi)=0 e f'(\xi)\neq0, a expressão recém-obtida dá
g'(\xi)=\frac{f(\xi)\,f''(\xi)}{\big(f'(\xi)\big)^{2}}=\frac{0\cdot f''(\xi)}{\big(f'(\xi)\big)^{2}}=0.
Logo, para qualquer raiz simples \xi vale \boxed{\,g'(\xi)=0\,}. Intuitivamente, o mapa de iteração de Newton tem derivada nula no ponto fixo correspondente à raiz simples — isso significa que, linearmente, a iteração não só atrai (derivada menor que 1 em magnitude), como tem termo de primeira ordem nulo, abrindo caminho para convergência de ordem superior.

Passo 4

Agora vamos ligar isso ao corolário do Teorema do Ponto Fixo e deduzir a convergência quadrática. Vou apresentar um argumento clássico e elementar usando a expansão de Taylor de g em torno de \xi.
Como g é suave nas proximidades de \xi, fazemos a expansão de Taylor em torno de \xi:
g(x)=g(\xi)+g'(\xi)(x-\xi)+\tfrac{1}{2}g''(\xi)(x-\xi)^{2}+O\big((x-\xi)^{3}\big).
Sabemos que g(\xi)=\xi (fix point) e, pelo passo anterior, g'(\xi)=0. Portanto
g(x)-\xi=\tfrac{1}{2}g''(\xi)(x-\xi)^{2}+O\big((x-\xi)^{3}\big).
Defina o erro e_{n}=x_{n}-\xi. A iteração de ponto fixo x_{n+1}=g(x_{n})
e_{n+1}=x_{n+1}-\xi=g(x_{n})-\xi=\tfrac{1}{2}g''(\xi)\,e_{n}^{2}+O\big(e_{n}^{3}\big).
Isto mostra que, para n grande (ou seja, uma estimativa local, quando e_{n} é pequeno), o erro satisfaz e_{n+1}=C\,e_{n}^{2}+o(e_{n}^{2}) com
C=\tfrac{1}{2}g''(\xi).
Da definição de ordem de convergência, isso é exatamente convergência de ordem 2 (quadrática): o novo erro é proporcional ao quadrado do erro antigo. Para tornar o argumento do corolário mais formal: existe um ambiente ao redor de \xi e uma constante K tal que, se x_{0} estiver suficientemente perto de \xi, então
|e_{n+1}|\le K\,|e_{n}|^{2},
o que garante a convergência quadrática.
Para maior clareza, vamos calcular explicitamente g''(\xi) em termos de f (isso também dá a constante C acima). Partimos de
g'(x)=\frac{f(x)f''(x)}{\big(f'(x)\big)^{2}}.
Se diferenciarmos (aplicando regra do quociente e produto) e avaliarmos em x=\xi, nota-se que o fator f(\xi)=0 simplifica muito as contas: escrevendo N(x)=f(x)f''(x) e D(x)=(f'(x))^{2}, tem-se
g''(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}.
Em x=\xi temos N(\xi)=0, então
g''(\xi)=\frac{N'(\xi)}{D(\xi)}.
Calculando N'(x)=f'(x)f''(x)+f(x)f^{(3)}(x) e avaliando em \xi (onde f(\xi)=0) resulta
N'(\xi)=f'(\xi)f''(\xi).
E D(\xi)=(f'(\xi))^{2}. Portanto
\boxed{\,g''(\xi)=\dfrac{f''(\xi)}{f'(\xi)}\,.}
Assim a constante na estimativa do erro é
C=\tfrac{1}{2}g''(\xi)=\frac{1}{2}\,\frac{f''(\xi)}{f'(\xi)}.
Resumo do passo: concluímos rigorosamente que, sob as hipóteses usuais (raiz simples e suavidade de f), a iteração de Newton tem g'(\xi)=0 e portanto converge quadraticamente, com
e_{n+1}\approx\frac{1}{2}\,\frac{f''(\xi)}{f'(\xi)}\,e_{n}^{2}.

Passo 5

Parte (c). Tome f(x)=x^{2}-2. Primeiro escrevemos g(x) explicitamente:
g(x)=x-\frac{x^{2}-2}{2x}=x-\frac{x}{2}+\frac{1}{x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}.
Uma forma mais simétrica é
\boxed{\,g(x)=\frac{1}{2}\Bigl(x+\frac{2}{x}\Bigr)\,}
(ambas as formas são equivalentes). Esta é a fórmula de Newton clássica para \sqrt{2}. Agora verifiquemos numericamente as primeiras iterações começando em x_{0}=1. A raiz verdadeira é \xi=\sqrt{2}\approx1,41421356237.
Cálculos:
  • x_{0}=1.
  • x_{1}=g(1)=\dfrac{1}{2}\bigl(1+\dfrac{2}{1}\bigr)=\dfrac{1}{2}(3)=1{,}5.
  • x_{2}=g(1{,}5)=\dfrac{1}{2}\bigl(1{,}5+\dfrac{2}{1{,}5}\bigr)=\dfrac{1}{2}\bigl(1{,}5+1{,}333333\ldots\bigr)=1{,}416666\ldots (arredondando note-se 1{,}4167).
  • x_{3}=g(x_{2}) (usando x_{2}\approx1{,}4166666667):
x_{3}\approx\tfrac{1}{2}\bigl(1{,}4166666667+\tfrac{2}{1{,}4166666667}\bigr)\approx1{,}4142156863.
Agora os erros absolutos em relação a \sqrt{2}:
  • e_{0}=x_{0}-\xi\approx1-1{,}4142135624\approx-0{,}4142135624 (erro em módulo \approx0{,}4142).
  • e_{1}=x_{1}-\xi\approx1{,}5-1{,}4142135624\approx0{,}0857864376 (módulo \approx8{,}5786\times10^{-2}).
  • e_{2}=x_{2}-\xi\approx1{,}4166666667-1{,}4142135624\approx0{,}0024531043 (módulo \approx2{,}4531\times10^{-3}).
  • e_{3}=x_{3}-\xi\approx1{,}4142156863-1{,}4142135624\approx2{,}1239\times10^{-6}.
Vamos ver o número de dígitos corretos aproximado usando -\log_{10}(|e_{n}|):
  • -\log_{10}(|e_{1}|)\approx -\log_{10}(8{,}5786\times10^{-2})\approx1{,}066 dígitos corretos aproximadamente (isto significa pouco mais de 1 dígito decimal confiável).
  • -\log_{10}(|e_{2}|)\approx -\log_{10}(2{,}4531\times10^{-3})\approx2{,}61 dígitos corretos aproximadamente.
  • -\log_{10}(|e_{3}|)\approx -\log_{10}(2{,}1239\times10^{-6})\approx5{,}67 dígitos corretos aproximadamente.
Observa-se que 2\times1{,}066\approx2{,}132 (predição pela quadrática) e o valor real 2{,}61 está na mesma ordem — ao aproximar-se mais da raiz, o comportamento quadrático torna-se mais exato; entre e_{2} e e_{3} vemos que os dígitos corretos saltam de \sim2{,}6 para \sim5{,}7, aproximadamente dobrando. Assim, numericamente a sequência 1\to1{,}5\to1{,}4167\to\cdots demonstra a convergência quadrática: o número de dígitos corretos cresce aproximadamente dobrando a cada iteração (para n suficientes, isso fica ainda mais nítido).
Resumo prático das primeiras iterações (arredondando para 4 casas decimais quando conveniente):
1 \longrightarrow 1{,}5000 \longrightarrow 1{,}4167 \longrightarrow 1{,}414216 \longrightarrow \cdots
cada passo reduz o erro de forma quadrática, dobrando aproximadamente o número de dígitos corretos depois das iterações iniciais.

Resposta

(a) g'(x)=\dfrac{f(x)\,f''(x)}{\big(f'(x)\big)^{2}}, portanto g'(\xi)=0 para toda raiz simples \xi (com f(\xi)=0, f'(\xi)\neq0).
(b) Como g'(\xi)=0 e g é suave, pela expansão de Taylor tem-se e_{n+1}=\tfrac{1}{2}g''(\xi)\,e_{n}^{2}+o(e_{n}^{2}) com g''(\xi)=\dfrac{f''(\xi)}{f'(\xi)}; daí a convergência de ordem 2 (quadrática) do método de Newton.
(c) Para f(x)=x^{2}-2 tem-se g(x)=\dfrac{1}{2}\bigl(x+\dfrac{2}{x}\bigr). Com x_{0}=1 obtemos x_{1}=1{,}5, x_{2}\approx1{,}4166667, x_{3}\approx1{,}4142156863, \ldots; os erros obedecem à relação quadrática e o número de dígitos corretos dobra aproximadamente a cada iteração.

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