Exercício 19 - Newton como caso especial do Ponto Fixo
Considere
, a função de iteração de Newton.
(a) Calcule
e mostre que
para qualquer raiz simples
(com
e
).
(b) Conclua que Newton converge quadraticamente usando o corolário do Teorema do Ponto Fixo.
(c) Para
, escreva
explicitamente e verifique que a sequência
dobra o número de dígitos corretos a cada iteração.
(a) Calcule
(b) Conclua que Newton converge quadraticamente usando o corolário do Teorema do Ponto Fixo.
(c) Para
Passo 1
O enunciado dá a função de iteração de Newton
e pede três coisas:
- (a) Calcular
e mostrar que para qualquer raiz simples (isto é, e ). - (b) Concluir que o método de Newton converge quadraticamente, usando o corolário do Teorema do Ponto Fixo.
- (c) Para
: escrever explicitamente e verificar, numericamente, que a sequência iniciada em produz e que o número de dígitos corretos dobra a cada iteração (ou seja, verificar o comportamento quadrático na prática).
Informações relevantes dadas:
-
é diferenciável (pelo contexto do método de Newton assumimos derivadas suficientes). -
é uma raiz simples: e . - Para (c),
e queremos iterar a fórmula de Newton para aproximar .
Passo 2
Vamos calcular
de forma detalhada, usando a regra do quociente. Defina
A derivada de
é
. Para derivar a parcela
aplicamos a regra do quociente: se
e
, então
Aqui
e
. Logo
Portanto, juntando com a derivada de
,
Agora simplificamos:
Assim obtemos a expressão final
Passo 3
Avaliação em uma raiz simples
: como
e
, a expressão recém-obtida dá
Logo, para qualquer raiz simples
vale
. Intuitivamente, o mapa de iteração de Newton tem derivada nula no ponto fixo correspondente à raiz simples — isso significa que, linearmente, a iteração não só atrai (derivada menor que 1 em magnitude), como tem termo de primeira ordem nulo, abrindo caminho para convergência de ordem superior.
Passo 4
Agora vamos ligar isso ao corolário do Teorema do Ponto Fixo e deduzir a convergência quadrática. Vou apresentar um argumento clássico e elementar usando a expansão de Taylor de
em torno de
.
Como
é suave nas proximidades de
, fazemos a expansão de Taylor em torno de
:
Sabemos que
(fix point) e, pelo passo anterior,
. Portanto
Defina o erro
. A iteração de ponto fixo
dá
Isto mostra que, para
grande (ou seja, uma estimativa local, quando
é pequeno), o erro satisfaz
com
Da definição de ordem de convergência, isso é exatamente convergência de ordem
(quadrática): o novo erro é proporcional ao quadrado do erro antigo. Para tornar o argumento do corolário mais formal: existe um ambiente ao redor de
e uma constante
tal que, se
estiver suficientemente perto de
, então
o que garante a convergência quadrática.
Para maior clareza, vamos calcular explicitamente
em termos de
(isso também dá a constante
acima). Partimos de
Se diferenciarmos (aplicando regra do quociente e produto) e avaliarmos em
, nota-se que o fator
simplifica muito as contas: escrevendo
e
, tem-se
Em
temos
, então
Calculando
e avaliando em
(onde
) resulta
E
. Portanto
Assim a constante na estimativa do erro é
Resumo do passo: concluímos rigorosamente que, sob as hipóteses usuais (raiz simples e suavidade de
), a iteração de Newton tem
e portanto converge quadraticamente, com
Passo 5
Parte (c). Tome
. Primeiro escrevemos
explicitamente:
Uma forma mais simétrica é
(ambas as formas são equivalentes). Esta é a fórmula de Newton clássica para
. Agora verifiquemos numericamente as primeiras iterações começando em
. A raiz verdadeira é
.
Cálculos:
-
. -
. -
(arredondando note-se ). -
(usando ):
Agora os erros absolutos em relação a
:
-
(erro em módulo ). -
(módulo ). -
(módulo ). -
.
Vamos ver o número de dígitos corretos aproximado usando
:
-
dígitos corretos aproximadamente (isto significa pouco mais de 1 dígito decimal confiável). -
dígitos corretos aproximadamente. -
dígitos corretos aproximadamente.
Observa-se que
(predição pela quadrática) e o valor real
está na mesma ordem — ao aproximar-se mais da raiz, o comportamento quadrático torna-se mais exato; entre
e
vemos que os dígitos corretos saltam de
para
, aproximadamente dobrando. Assim, numericamente a sequência
demonstra a convergência quadrática: o número de dígitos corretos cresce aproximadamente dobrando a cada iteração (para
suficientes, isso fica ainda mais nítido).
Resumo prático das primeiras iterações (arredondando para 4 casas decimais quando conveniente):
cada passo reduz o erro de forma quadrática, dobrando aproximadamente o número de dígitos corretos depois das iterações iniciais.
Resposta
(a)
, portanto
para toda raiz simples
(com
,
).
(b) Como e
é suave, pela expansão de Taylor tem-se
com
; daí a convergência de ordem
(quadrática) do método de Newton.
(c) Para tem-se
. Com
obtemos
,
,
,
; os erros obedecem à relação quadrática e o número de dígitos corretos dobra aproximadamente a cada iteração.
(b) Como
(c) Para